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数学物理方法1

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第一章复变函数第二章复变函数的积分第三章幂级数展开第四章留数定理第五章傅里叶(Fourier)变换傅里叶级数傅里叶积分与傅里叶变换函数第六章拉普拉斯

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《数学物理方法》公式整理
第一章 复变函数
第二章 复变函数的积分
第三章 幂级数展开
第四章 留数定理
第五章 傅里叶(Fourier)变换
 傅里叶级数
 傅里叶积分与傅里叶变换
   函数
第六章 拉普拉斯(Laplace)变换
第七章 数学物理定解问题
 数学物理方程的导出 
 定解条件
 达朗贝尔公式 定解问题
第八章 分离变数法
 齐次方程的分离变数法 
第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题
 特殊函数常微分方程
 常点邻域上的级数解法
 正则奇点邻域上的级数解法
 施图姆-刘维尔本征值问题
第十章 球函数
 轴对称球函数 
 连带勒让德函数
第十一章 柱函数
 三类柱函数
 贝塞尔方程
§5.1
§5.2
§5.3 δ
§7.1 ★
§7.2
§7.4
§8.1 ★
§9.1
§9.2
§9.3
§9.4
§10.1 ★
§10.2
§11.1
§11.2

第一章复变函数

柯西-黎曼方程（C-R 条件）：复变函数可导的必要条件

极坐标系中，柯西-黎曼方程：

解析函数性质：

1. 若函数在区域上解析，则

是上的两组正交曲线族。即：

2. 若函数在区域上解析，则均为上的调和函数。即：

二元函数的微分式：

根据 C-R 条件可以改写为：

w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) z = x + iy

∂x

∂u

∂x

∂v

= ,

∂y

∂v

= − .

∂y

∂u

∂ρ

∂u

∂ρ

∂v

= ,

∂φ

∂v

= − .

∂φ

∂u

f(z) = u + iv B

u(x, y) = C , v(x, y) =

∇u ⋅ ∇v = 0

f(z) = u + iv B u, v B

∂x

∂ u

∂y

∂ u

∂x

∂ v

∂y

∂ v

v(x, y)

dv = dx +

∂x

∂v

∂y

∂v

dv = − dx +

∂y

∂u

∂x

∂u

第二章复变函数的积分

积分不等式：

单连通区域柯西定理：如果函数闭单连通区域上任一分段光滑闭合曲线（也可以是的

边界），有

复连通区域柯西定理：如果函数是闭单连通区域上的单值解析函数，则

式中为区域外边界线，为区域内边界线

计算 ( 为整数)

柯西公式：若在闭单连通区域上解析，为的边界线，为内的任一点，则

求导得：

f(z)dz ≤

∣

∫

∣

∣f(z)∣∣dz∣ ≤∫

f(z) B

l B

f(z)dz =∮

f(z)

f(z)dz +∮

f(z)dz =

i=1

∑

∮

l l

I = (z −∮

α) dz

2πi

∮

z − α

(z − α) dz

2πi

∮

= {

0 (l不包围α)

1 (l包围α)

= 0 (n = −1)

f(ζ) B

l B

z B

f(z) = dζ

2πi

∮

ζ − z

f(ζ)

f (z) =

(n)

dζ

2πi

∮

(ζ − z)

n+1

f(ζ)

第三章幂级数展开

以为中心的泰勒展开

在的邻域上将下列级数展开：( 前三收敛半径均为 )

洛朗级数展开: 设在环形区域的内部单值解析，则对环域上任一点

，可展为幂级数：

为环域内沿逆时针方向绕内圆一周的任一闭回线

f(z)

f(z) = (z −

k=0

∑

∞

f (z )

(k)

z ) （∣z − z ∣ < R）

∞

f(z) = e =

k=0

∑

∞

f(z) = sin z =

k=0

∑

∞

(2k + 1)!

(−1) z

k 2k+1

f(z) = cos z =

k=0

∑

∞

(2k)!

(−1) z

k 2k

f(z) = = z (∣z∣ < 1)

1 − z

k=0

∑

∞

f(z) R <

∣z − z ∣ <

f(z)

f(z) = a (z −

k=−∞

∑

∞

z )

a =

dζ

2πi

∮

(ζ − z )

k+1

f(ζ)

第四章留数定理

留数定理：设函数在回路上所围区域上除有限个孤立奇点外解析，在闭区

域外连续，则

判断是否单极点、留数

若表示为，且都在解析，是的一阶零点，

，从而是的一阶极点，则

函数在阶极点的留数：

实变定积分：

类型一

作自变数代换

类型二

在实轴上没有奇点，

在上半平面除有限个奇点外是解析的，

当在上半平面及实轴上时，一致地

类型三

偶函数和奇函数在实轴上没有奇点，

在上半平面除有限个奇点外是解析的，

当在上半平面及实轴上时，一致地

f(z) l B b , b , ..., b

1 2 n

f(z)dz =∮

2πi Resf (b )

j=1

∑

[(z −

z→z

lim z )f(z)] =

非零有限值，即Resf(z )

f(z) P (z)/Q(z) P (z)和Q(z) z

Q(z)

P (z ) =

 0 z

f(z)

Resf(z ) =

(z −

z→z

lim z ) =

Q(z)

P (z)

Q (z )

′

P (z )

f(z) m

Resf(z ) =

[(z − z ) f(z)]

z→z

lim

(m − 1)!

{

m−1

}

R(cos x, sin x)dx∫

2π

z = e

I = R , ∮

∣z∣=1

(

z + z

−1

z − z

−1

)

f(x)dx∫

−∞

∞

f(z)

z → ∞ zf(z) → 0

I = 2πi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}

F (x) cos mx dx, G(x) sin mx dx∫

∞

∫

∞

F (z) G(z)

z → ∞ F (z), G(z) → 0

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