基于GM_ARMA组合模型的全球年平均气温预测
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2009-09-01
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中国新技术新产品
２００８ ＮＯ．０９
（ 下）
Ｃｈｉｎａ Ｎｅｗ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ ａｎｄ Ｐｒｏｄｕｃｔｓ
高 新 技 术
中国新技术新产品
基于 ＧＭ－ ＡＲＭＡ 组合模型的全球年平均气温预测
倪淑娜 唐 波 蔡家辉
（ 中南大学 土木建筑学院， 湖南 长沙
４１００７５
）
摘 要
：
针对全球年平均气温历史数据既有趋势性又有波动性的特点， 提出用灰色系统理论与时间序列分析相结合的方法建立
ＧＭ－ ＡＲＭＡ
组合模型来预测全球年平均气温。基于这个模型采用等维递补的预测方法预测出了过去十年内的全球年平均气温， 通过与实际数据相比较
发现该模型具有较高的预测精度。最后采用该组合模型预测出了未来十年内的全球年平均气温。
关键词
：
全球年平均气温；
ＧＭ（１
，
１）
；
ＡＲＭＡ
；
ＧＭ－ ＡＲＭＡ
； 残差修正； 等维递补
气候变暖是
２１
世纪 全 球面 临 的最 严 重挑
战
， 据
ＩＰＣＣ
评估报告称， 地球气温变暖将导致
更为频繁的洪灾、热浪、两极冰盖融化、海平 面
上升
； 澳大利亚将出现严重干旱， 全国缺水， 而
部分太平洋岛国将被上升的海水淹没； 在
２０８０
年将会有
２
亿
￣６
亿人受到饥荒影响，
１１
亿
￣３２
亿人受水荒影响。温室效应已经向全人类敲响
了警钟。因此能够较为准确地预测全球年平均
气温在未来数十年内的发展趋势对于指导国际
社会采取有力措施来应对全球温室效应问题具
有重要意义。
通过观察历史数据可知
， 全球年平均气温
的时间序列为既含有确定性的动态趋势又含有
随机性波动的非平稳时间序列。对于平稳随机
序列
， 自回归滑移平均
ＡＲＭＡ
［１］
是最成熟的统计
学分析方法之一。而灰色系统理论
ＧＭ
［２］
则是一
种动态趋势预测理论， 将这两者结合用于全球
年平均气温预测将会是一种非常有益的探索 。
本文首先应用灰色系统理论建立了全球年平均
气温趋势项且含有残差修正的预测模型
， 然后
对剔除趋势项后的数据进行时间序列分析建立
ＡＲＭＡ
模 型 。 最 后 结 合 以 上 两 种 模 型 构 成 了
ＧＭ－ ＡＲＭＡ
［３］
组合模型来对未来全球年平均气温
进行了预测。
１ ＧＭ－ ＡＲＭＡ
组合模型及其建模
１．１ ＧＭ（１
，
１）
残差修正模型
动 态 趋 势 项 的 灰 色 系 统 预 测 主 要 是 基 于
ＧＭ
模型 ，
ＧＭ
模型是一个拟微分方程的动态模
型
， 它可以 较好地描述系统内部特征和发展趋
势， 其外推预测性能优于统计回归方程， 而且
也不要求样本数据有较大容量和满足一定统计
分布。其中 使用最多的是
ＧＭ（１
，
１）
模型。
设有
ｋ
个原始非负样本序列
，
对序列 进行一阶累加生成：
（
１
）
由此得生成数列：
据此建立关于
ｘ
（１）
（ｋ）
的一阶线性白化微分方
程：
利用最小二乘法求解参数
ａ，ｕ
为：
其中：
综上可得
ｘ
（１）
的灰色预测
ＧＭ
（
１
，
１
） 模型为：
（
２
）
其实际预测值可用下式得出
（
３
）
通过分析上述模型的预测序列 的 残差 值 ，
如果发现该残差序列还具有一定的趋势性， 同
样也可以对于残差序列建立
ＧＭ
（
１
，
１
） 模型来预
测残差值， 从而对第一步中得到的预测序列进
行残差修正。
定义第
ｌ
时刻原始值
ｘ
（０）
（ｌ）
与预测值 之
差
， 称为
ｌ
时刻的残差， 记为
。
令 从 而 得 到
新的序列 ， 式中
ｍ
为残差的最小值。通
过这样的处理
， 不论序列 为何种形式，
恒有 ， 且 是递增的， 这是微 分
模型可以表达的。然后对序列 建立
ＧＭ
（
１
，
１
） 模型来对残差进行预测， 最后得到离散响
应函数为
（
４
）
其实际预测值可由下式得出
（
５
）
在此 基 础上 对 原 来 的 预 测 序 列 进
行修正
：
就是 经修正以后的预测
序列。
１．２
随机波动项的
ＡＲＭＡ
模型
［５］
对于剔除趋势项后得 到 的随 机 波动 项 ， 一
般近似为一个零均值平稳时间序列
， 满足时间
序列建立
ＡＲＭＡ
模型的条件， 如果不满足条件，
则可采用差分法， 使随机波动项尽可能地趋近
于零均值平稳时间序列
， 从而可用
ＡＲＭＡ
（
ｐ
，
ｑ
）
模型来描述：
式中：
ｐ
和
ｑ
分别为自回归部分和滑动平均部分
的阶数；
分 别 是 自 回 归 系
数和滑动平均系数； 为
白噪声序列。
故
ＡＲＭＡ（ｐ
，
ｑ）
模型有
ｐ＋ｑ＋１
个未 知 参数 。
要确定这些未知参数， 首先要确定模型的阶次，
即
ｐ
和
ｑ
值， 这两个值可以直接根据时间序列
的自相关系数和偏自相关系数的截尾性确定
．
但是由这个方法确定的预测模型的精确度不一
定高
， 所以也可以人为地预先设定阶次的范围，
一般阶数的上界
Ｎ
ｂ
不超过
１／３Ｎ￣２／３Ｎ
，
Ｎ
是样
本长度
， 然后根据模型残差方差检验准则进行
模型阶数的最终确定， 其中常用的准则有
ＡＩＣ
准则
． ＡＩＣ
的值越小则说明拟合模型的预测精
度越高。
在确定模型的阶次后， 采用
ＥＶＩＥＷ３．１
拟合
出有关的参数。从而得到对随机波动项建立的
ＡＲＭＡ
（
ｐ
，
ｑ
） 模型：
组合模型的模型预测公式为各因子模型预
测公式的组合， 由灰色模型与
ＡＲＭＡ
模型组合
而成的
ＧＭ－ ＡＲＭＡ
模型， 其预测值是由灰色模
型得到的预测值与由
ＡＲＭＡ
模型得到的预测值
之和
２
基于
ＧＭ－ ＡＲＭＡ
组合模型的全球年平均
气温预测
全球年平均气温时间序列的历史数据如图
１
所示。
图
１ １９６１－ ２００１
年的全球年平均气温
从图
１
中可知， 全球年平均气温的时间序
列具有明显的趋势性和随机性， 因此该数据可
由时间序列的分解式来表示
：
式中
ｘ（ｔ）
是由灰色动态预测得到的趋势项，
!
（ｔ）
是由
ＡＲＭＡ
模型预测得到的随机项。
已知全球年平均气 温
，
ＭＡＴＬＡＢ６．５
编程 可
得：
（
２
） 式中
（
４
） 式中
由
（
３
） 、
（５）
式可得全球年平均气温趋势项的灰色
系统的预测结果为：
（
６
）
全球年平均气温随机波动项
ＡＲＭＡ
模型的
阶次由
ＡＩＣ
准则确定， 根据样本长度确定
５
为
最大阶数
， 以此为界计算出模型在不同阶数下
的
ＡＩＣ
值， 结果如表
１
所示。
９－ －
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