循环校验码

循环校验码（CRC）是一种广泛用于数据传输中检测错误的方法，尤其在计算机网络通信领域中占有重要地位。CRC的全称是循环冗余校验码，它利用冗余的校验位（CRC校验码）来检测数据在传输或存储过程中是否出现错误。 CRC校验原理中最为关键的步骤在于发送端附加一个校验码到原始数据帧之后，这个校验码是通过模2除法计算得出的。模2除法是二进制除法的一种，它不同于普通的算术除法，不涉及借位或进位操作，而是执行按位的异或（XOR）操作。具体到模2加法和减法，其运算规则是：1+1=0、0+1=1、1-1=0、0-1=1，这里加号和减号代表的都是异或操作。 在CRC校验码的计算过程中，首先需要选定一个二进制多项式作为生成多项式，这个多项式通常表示为G(X)，用于发送和接收端共同进行模2除法。通常情况下，生成多项式是由发送端和接收端预先约定好的，例如在某些标准协议中，如CCITT-16生成多项式g(x)=x^16+x^15+x^5+1。在选定生成多项式之后，将其转换为对应的二进制形式，该二进制数由生成多项式中x的幂次对应的二进制位为1，其它为0的规则得出。 接着，在原始数据帧后面添加与生成多项式位数减1相当的0。这样，原始数据帧加上添加的0之后的序列被称为扩展数据帧。然后，将扩展数据帧使用模2除法进行除法运算，得到的余数就是CRC校验码。这个余数也就是最终要附加到原始数据帧后发送给接收端的校验码。 在接收端，接收到数据帧后会将这个数据帧用同样的生成多项式进行模2除法。如果余数为0，则表示数据帧在传输过程中没有发生错误；如果余数不为0，则表示数据帧在传输过程中发生了错误。 CRC校验码之所以强大，在于其能够检测出多位错误，而不同于奇偶校验码（PCC）只能检测出单个错误。这是因为CRC校验码基于冗余的二进制位序列，能够通过数学上的组合检验出多比特的错误模式。CRC的检错能力与其所使用的生成多项式的特性密切相关，不同的多项式可以检测出不同长度错误的组合。 实际应用中，CRC校验的效率和可靠性使其成为很多通信标准的一部分。例如，在以太网通信中广泛使用CRC-32算法，其生成多项式为g(x)=x^32+x^26+x^23+x^22+x^16+x^12+x^11+x^10+x^8+x^7+x^5+x^4+x^2+x+1。而在此例中提到的CRC-16，也被多个标准协议采用，其生成多项式为g(x)=x^16+x^15+x^2+1。 总结一下，CRC校验码的计算是基于以下步骤： 1. 选择一个生成多项式，通常是标准约定的，但也可以根据实际需要自己定义。 2. 将原始数据帧后面附加k-1位0，其中k是生成多项式的位数。 3. 使用模2除法将扩展数据帧除以生成多项式，计算得到的余数就是CRC校验码。 4. 将CRC校验码附加到原始数据帧后，形成新的数据帧进行发送。 5. 在接收端使用相同生成多项式对收到的数据帧进行模2除法，如果余数为0则无错误，若余数不为0则存在错误。 这一系列步骤保证了数据传输的准确性，因此CRC在多个领域内有着广泛的应用。