线性系统理论是控制工程中的核心概念，主要研究线性动态系统的性质和行为。本作业涉及线性系统理论的关键知识点，包括系统稳定性、零输入响应、特征根与系统行为的关系、系统等价以及矩阵约当正规形等。
（1）系统稳定性：一个线性系统的稳定性可以通过分析其状态方程的特征根来判断。如果所有特征根都有负实部，那么系统的零输入响应随时间趋近于零。这是因为负实部特征根对应的指数项会随着时间衰减，因此系统的各个分量最终都会趋向于零。例如，考虑一个系统，其状态方程的系数矩阵具有负实部的特征值，那么该系统就是稳定的。
（2）特征根与零输入响应：如果矩阵有正实部的特征根，系统的零输入响应可能发散。这是因为正实部的特征根导致指数项随时间增长，从而使系统响应趋于无穷。例如，当特征根为正实数时，即使初始状态为零，输出也可能无限增大。反之，如果特征根对应的输出分量为零，那么系统在零输入响应下仍会保持稳定。
（3）纯虚根的影响：如果系统有实部为零的特征根（即纯虚根），并且这些特征根的重数大于1，那么当纯虚根的倍数对应项不为零时，零输入响应可能发散。例如，当系统有两个纯虚根，若输出矩阵与这些特征根有关的项非零，系统响应将在特定时间点达到无穷大。
（4）零极点相消与系统行为：零极点相消的概念与系统的传递函数密切相关。如果一个正实部特征根在传递函数中可以被消除，那么系统的零输入响应在时间趋于无穷时会保持稳定。这表明，通过适当的系统变换或设计，可以改善系统的稳定性特性。
（5）零状态等价系统的性质：两个零状态等价的系统在初始条件为零且输入相同时会产生相同的输出。然而，如果初始条件不为零，相同输入可能会导致不同的输出。这是因为零状态等价仅考虑了输入对系统的影响，而不考虑初始状态的影响。
（6）高阶约当块的实数化：当矩阵包含多个高阶约当块时，为了进行分析，通常需要将其转换为实数形式。这涉及到复共轭对称和反对称部分的处理，以得到实对称的约当规范形。
（7）特征向量与不变子空间：如果一个向量是矩阵的特征向量，那么该向量张成的空间是一个不变子空间。这是因为特征向量满足矩阵乘法的性质，即矩阵作用于该空间内的任何向量时，仍然保持在这个空间内。
（8）广义特征向量与不变子空间：广义特征向量构成的子空间也是矩阵的不变子空间。这是因为广义特征向量满足矩阵与特征值关系的线性组合形式，因此矩阵作用后的结果仍在该子空间内。
以上讨论了线性系统理论中的关键点，包括系统的稳定性、特征根的影响、零输入响应、系统等价性以及矩阵约当规范形与不变子空间。这些知识点对于理解和设计线性控制系统至关重要。
