电子科技大学06应用随机过程试题

【电子科技大学06应用随机过程试题】这是一份2006年电子科技大学关于“随机过程”的考试题目集，主要涵盖了随机过程中的基础概念、性质和应用。随机过程是概率论的一个重要分支，广泛应用于通信工程、信号处理、统计物理学等领域。 1. 题目要求证明泊松过程的k次事件发生间的等待时间构成马尔科夫链。马尔科夫链的特点是当前状态只依赖于前一状态，而不依赖于之前的状态序列。泊松过程的等待时间具有指数分布，其连续性和独立性使得每次事件的发生只与前一次事件有关，满足马尔科夫性质。 2. 题目涉及随机变量序列的均方收敛。若随机变量序列在概率平方意义下趋于某个常数，则称该序列在均方意义下收敛。证明要求的随机变量序列在t趋于无穷时的均方极限存在，这通常需要利用大数定律或中心极限定理的相关理论。 3. 本题考察的是随机过程的均值函数和相关函数，以及广义平稳性的讨论。广义平稳性指的是随机过程的一阶矩和二阶矩性质（如均值和相关函数）不随时间平移而改变。解题时需计算给定随机过程的均值和相关函数，然后分析其是否满足平稳性条件。 4. 题目涉及到两独立泊松过程的和过程及其概率计算。泊松过程的线性组合仍然是泊松过程，所以到达商场的顾客总数构成了一个新的泊松过程。对于第二个问题，可以使用联合概率分布计算特定条件下到达顾客的性别比例。 5. 这是一个关于马尔科夫链的问题，其中汽车在车站之间的移动遵循一定的规则。需要确定转移概率矩阵，然后讨论是否满足其次马尔科夫性，即状态之间的转移仅依赖于当前状态，而非历史状态。若满足，进一步求解平稳分布，这是马尔科夫链长期行为的关键。 6. 题目探讨了两个独立同分布随机变量X和Y的函数Z的均方可积性及严平稳性。均方可积性意味着Z的平方期望有限，严平稳性则要求Z的时间平移不影响其分布。解题时需分析X和Y的性质如何影响Z的这些特性。 7. 最后一个问题涉及到随机过程的时间均值和均方遍历性。时间均值是随机过程在无限时间内平均值的期望，而均方遍历性是指在足够长的时间内，随机过程的均值几乎处处收敛于其时间均值。解答这个问题需要深入理解随机过程的均值函数和遍历定理。 这些题目综合了随机过程中的核心概念，如马尔科夫链、均方收敛、平稳性、泊松过程、马尔科夫链的转移概率矩阵和平稳分布，以及随机过程的均值和遍历性，对于理解和掌握随机过程的理论与应用具有重要意义。