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数值分析课件

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数值分析

南京邮电大学数理学院杨振华制作

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南京邮电大学数理学院杨振华制作 njuptshumo2006@126.com

第一章绪论

第二章插值法

第三章函数逼近与计算

第四章数值积分与数值微分

第五章常微分方程数值解法

第六章方程求根

第七章解线性方程组的直接方法

第八章解线性方程组的迭代法

第九章矩阵的特征值与特征向量计算

第一章

绪论

南京邮电大学数理学院杨振华制作 njuptshumo2006@126.com

简单示例

例A 求方程x

+ x-1=0

在区间[0,1]中的根.

分析:由于函数

f(x)=x

+x-1是连续函

数,且f(0)<0, f(1)>0,

根据介值定理,它在

(0,1)内必然有根.

困难:五次以上方程没有求

根公式.无法求出精确解.

只能用数值方法求近似解!

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

南京邮电大学数理学院杨振华制作 njuptshumo2006@126.com

简单示例

例B 已知施加于弹簧上的外力与其的伸长的长

度成正比,即有F=kx,其中k称为弹簧的弹性系数.

现已测得伸长长度和外力的若干数据如下:

(1.35,4.00),(2.00,6.00),(2.69,8.00),(3.42,10.00)

请根据这组数据求出弹性系数k.

南京邮电大学数理学院杨振华制作 njuptshumo2006@126.com

分析:我们先将数据画在一张图上.可以看出,

四个点近似的在一条通过原点的直线上.

但是如果我们作出直线y=3x,它通过第二个点,

却不通过其它的点.“最好”的系数应该是多少?

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

南京邮电大学数理学院杨振华制作 njuptshumo2006@126.com

数值分析

上面的例B必须通过数值分析的方法给出一定

的理论基础.

事实上,数值分析就是研究用计算机解决实际

问题的数值方法和理论.

数值分析一般以需计算的数学问题为研究对

象,也有自身严谨的理论系统.

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误差来源

模型误差:建立数学模型的近似带来的误差;

观测误差:测量物理量所包含的误差;

截断误差:也称为方法误差用数值方法求近似

解时,近似解与精确解之间的误差;

舍入误差:计算机字长有限,在表示无限小数时

产生的误差.

我们可以用下面的图来显示各种误差.

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现

实

世

界

研究

对象

测量

数据

数学模型

的建立

计算方法

的构成

数值运算

的执行

测量

误差

结果

方法误差与舍入误差

数值分析中着重研究

舍入

误差

方法

误差

模型

误差

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误差分析

由分部积分公式可以得到I

的递推公式

=1-nI

n–1

(n=1,2,…),I

=1-e

-1

;

下面采用4位小数计算.由于e

–1

≈0.3679(根据

Taylor展式,误差小于0.25×10

–4

), I

≈0.6321.

我们用此初值以及递推公式计算若干步得到

表中的结果.

01(,,)

Ie xedxn

−

∫



例1 计算

并估计误差

南京邮电大学数理学院杨振华制作 njuptshumo2006@126.com

由于被积函数的值在0,1之间,积分值也应该

在0,1之间. 和的值是不可靠的.

误差分析

7.552090.17044

-0.728080.20743

0.216070.26422

0.112060.36791

0.148050.63210

南京邮电大学数理学院杨振华制作 njuptshumo2006@126.com

例1的误差分析

初值I

有误差 ,引起以后各步的误差.

000

−

因此有E

=(-1)

n!E

这说明第n步的误差是初始误差的n!倍.

下面的表给出了实际的误差.

nnn

−

11()()

nI nI

−−

=− −−

()

nI I

−

=− −

−

南京邮电大学数理学院杨振华制作 njuptshumo2006@126.com

有效数字

=3.14159265…

按照四舍五入的原则可以得到x的前几位.

取3位x

*=3.14,

*≤0.002,

取5位x

*=3.1416,

*≤0.000008,

一般地,误差小于末位数字的半个单位

-3.14|≤0.5×10

-2

, |

-3.1416|≤0.5×10

-4

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有效数字

若近似值x*的误差限是某一位的半个单位,该

位到x*的第一位非零数字共有n位,就称x*有n

位有效数字.

x*有n位有效数字可写成标准形式

x*=±10

×(a

×10

–1

+…+a

×10

–(n–1)

其误差限为0.5×10

m–n–1

,即

|x-x*|≤ 0.5×10

m–n–1

南京邮电大学数理学院杨振华制作 njuptshumo2006@126.com

数值运算的误差估计(四则运算)

两个近似数x*与y*,其误差限分别为

(x*)与

(y*),

它们进行加,减,乘,除运算得到的误差限分别为

(x*±y*)=

(x*)+

(y*)(书中有错!)

(x*×y*)=

(y*)|x*|+

(x*)|y*|

(x*/y*)= (

(y*)|x*|+

(x*)|y*|)/|y*|

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数值运算的误差估计(函数计算)

对于多元函数A=f(x

,···,x

),如果x

,···,x

的近

似值分别为x

*,x

*,···,x

*,误差限分别为

(k=1,2, …,n),则A的近似值为A*=f(x

*,x

*,···,x

*),

其误差限可以用下式计算

***

() |( )|()

εε

∂

≈

∂

∑

南京邮电大学数理学院杨振华制作 njuptshumo2006@126.com

例5 已测得某场地长l的近似值为l*=110m,宽d的

近似值为d*=80m,已知|l-l*|≤0.2m, |d-d*|≤0.1m.

试求面积s=ld的绝对误差限与相对误差限.

解:s=ld,∂s/∂l=d, ∂s/∂d=l,因此绝对误差限约为

(s*)≈|(∂s/∂l)*|

(l*)+|(∂s/∂d)*|

(d*)

=|d*|

(l*)+|l*|

(d*)

=80×0.2+110×0.1=27(m

)

相对误差限

(s*)=

(s*)/|s*| ≈27/8800=0.31%.

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数值运算的若干原则

避免“大数”除以“小数”

避免相近数相减

避免“大数”吃“小数”

减少运算次数

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内容反馈

yangwenchao2000

2011-12-28

找的就是个东西。文档清晰、易读。谢谢分享！
Paullink

2012-11-30

内容很好，赞一个
passionateguy

2014-03-20

内容挺好，就是有点繁琐了。。。
numberrongbo

2012-10-13

很不错的东西，可是初学者还是看不懂的啊，哎
magua_123

2012-08-24

谢谢楼主了，以前没好好学，现在着急用上，万分感谢

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小熊猫hy

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