7.6 解一维不稳定态问题的方法比较

【7.6 解一维不稳定态问题的方法比较】 在传热学中，一维不稳定态问题涉及热量在时间和空间上的变化。本节主要探讨三种不同的数值解法：显式解法、Crank-Nicolson隐式解法，用于求解一维无内热源直角坐标系中的瞬态问题，特别关注它们在处理对流边界条件下的能量平衡。 **问题叙述** 问题设定为一个1米长的棒，两端受到冷却，初始温度从左端的50℃线性升至右端的100℃。棒的热物理属性包括导热系数400 W/(mK)，比热495 J/(kgK)，密度8892 kg/m³，两端表面的传热系数1600 W/(mK)，冷却介质温度20℃。目标是在907.8秒时比较各种解法的结果。 **显式解法** 显式解法基于有限差分法，通过时间步长和空间步长来离散化微分方程。稳定性判据要求方程中没有负系数。在本例中，为了确保稳定性，傅立叶数Fo必须满足112BiFo+ ≥ 0，而根据公式5229.08 10()()4ttFoxxh xBixh=，可以计算出最大傅立叶数。对于7等份的空间步长，稳定条件为Fo≤0.318，可以选择Fo = 0.25。将物性参数代入，得到有限差分方程，并确定时间步长和空间步长。 **Crank-Nicolson隐式解法** Crank-Nicolson方法是一种时间离散格式，它在时间方向上采用半隐式形式，以实现无条件稳定性。对于给定的控制方程和边界条件，Crank-Nicolson格式通过权重平均来平衡前一步和后一步的贡献，从而降低局部截断误差。这种方法的时间步长与空间步长与显式解法相同，但因为它的稳定性，可以使用较大的时间步长。通过设置2/rh，将离散方程转化为矩阵形式求解。 **比较** 显式解法简单但受限于稳定性条件，而Crank-Nicolson方法通过平均过去和未来的值，提供更大的稳定性，可以使用较大的时间步长，但计算复杂度较高。实际应用中，选择哪种方法取决于问题的特性和计算资源。 总结来说，显式解法适用于稳定条件严格且计算资源有限的情况，而Crank-Nicolson方法更适合对稳定性要求较高或需要较大时间步长的场景。这两种方法都是有限差分法在解决一维不稳定态问题中的重要工具，它们的选择应根据具体问题的物理特性、计算效率和精度要求来确定。