双曲型偏微分方程的数值解法（3）
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双曲型偏微分方程的数值解法（3）
1
第 4 章 双曲型偏微分方程的数值解法（3）
4.1 二阶双曲型方程的紧差分法
本小节介绍形如下式所示的二阶双曲型方程的紧差分方法：
22
2
22
( , ) ( , )
( , ), 0 1, 0 ,
( ,0) ( ), ( ,0) ( ), 0 1,
(0, ) ( ), (1, ) ( ), 0 ,
u x t u x t
a f x t x t T
tx
u
u x x x x x
t
u t t u t t t T
( 1 )
求解步骤
（1）区域离散
（2）得到离散方程
（3）差商代替偏导数
由 Taylor 公式可得：
3 4 5
3 4 5
)
3 4 5
2 2 3 4
2
3
5
6
1
2
(,
2 3 4 5
6
1
2
,
5
(
4
)
))( , (
2 6 24 12
)
0
( , (
2 6 24 12
)
0
k
k
j
j
jk
xt
jk
xt
u h u h u h u h u
u x t u h O h
x x x x x
u h u h u h u h u
u x t u h O h
x x x x x
( 2 )
将上式相加，有：
2
11
4
2
(,
24
24
))(,
( , 2 ( , ( ,
()
))
12
)
jjkk
j k k j k
x t x t
j
u x t u x t u x t
u h u
Oh
hxx
( 3 )
类似地，有：
11
11
2
1 1 1 1 1
4
2
( , ( ,
2
24
24
))
24
24
11 1 1
4
2
( )), ( ,
( , 2 ( , ( ,
()
12
( , 2 ( , ( ,
()
1
))
)
2
)
))
j
k
jkk
jjk
j k k j k
x t x t
j k k j k
x t t
j
j
x
u x t u x t u x t
u h u
Oh
xx
u x t u x t u x t
u h u
Oh
x h x
h
( 4 )
将上式相加，除以 2：
11
11
22
1 1 1 1 1
22
( , ( ,
11
2
))
2 4 4
)
1 1 1
,
2 4 4
)
4
( , (
( , 2 ( , ( ,
1
,
) ) )
2
) ) )
2
( 2 ( , ( ,
1
(
12 22
)
jj
j
k
kkj
k
j k k j k
x t x t
j k k j k
x t x t
j
j
u x t u x t u x t
uu
xx
u x t u x t u x t
h u u
Oh
xx
h
h
( 5 )
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