《离散数学》试题及答案详解.doc

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**题目解析**：对于命题公式\(G=(P \rightarrow Q) \land R\)，其主析取范式是指将所有使得\(G\)为真的解释组合起来形成的析取式。根据真值表，可以得出\(G\)的主析取范式为\((\neg P \land \neg Q \land R) \lor (\neg P \land Q \land R) \lor (P \land \neg Q \land R)\)。 - **知识点总结**： - **主析取范式**：一个命题公式的主析取范式是指将所有使得该公式为真的解释组合起来形成的析取式。 ##### 4. 完全二叉树的性质 - **题目解析**：对于一个完全二叉树\(G\)，如果它有7个顶点且其中有4个叶节点，那么它的分枝点数为3。在完全二叉树中，非叶节点（即分枝点）的数量总是比叶节点的数量少1。另外，每个非叶节点的度数为2，每个叶节点的度数为1，因此总的度数为\(3 \times 2 + 4 \times 1 = 10\)。 - **知识点总结**： - **完全二叉树**：在完全二叉树中，除了最后一层外，其他每一层都是满的，并且最后一层的叶子都集中在左边。 - **分枝点和叶节点**：分枝点是非叶节点，叶节点是树中最底层的节点。 ##### 5. 集合的并、交、差运算 - **题目解析**：对于两个集合\(A=\{1,2,4\}\)和\(B=\{3,4\}\)，它们的并集\(A \cup B = \{1,2,3,4\}\)，交集\(A \cap B = \{4\}\)，差集\(A - B = \{1,2\}\)。 - **知识点总结**： - **集合的并集运算**：\(A \cup B\)表示的是包含\(A\)和\(B\)中所有元素的集合。 - **集合的交集运算**：\(A \cap B\)表示的是同时属于\(A\)和\(B\)的所有元素组成的集合。 - **集合的差集运算**：\(A - B\)表示的是属于\(A\)但不属于\(B\)的所有元素组成的集合。 ##### 6. 等价关系的性质 - **题目解析**：等价关系是指在一个集合上的关系，满足自反性、对称性和传递性。具体来说，如果集合\(A\)上的关系\(R\)满足以下条件： - 自反性：对于任意\(a \in A\)，有\(aRa\)； - 对称性：对于任意\(a, b \in A\)，如果\(aRb\)，则\(bRa\)； - 传递性：对于任意\(a, b, c \in A\)，如果\(aRb\)且\(bRc\)，则\(aRc\)。 - **知识点总结**： - **自反性**：任何元素都与其自身相关联。 - **对称性**：如果\(a\)与\(b\)相关，则\(b\)也与\(a\)相关。 - **传递性**：如果\(a\)与\(b\)相关，且\(b\)与\(c\)相关，则\(a\)与\(c\)也相关。 ##### 7. 命题公式的真值解释 - **题目解析**：对于命题公式\(G = \neg(P \rightarrow (\neg Q \rightarrow R))\)，其为真的解释有：\((P,Q,R)=(1,0,0)\)，\((P,Q,R)=(1,0,1)\)，\((P,Q,R)=(1,1,0)\)。这是因为我们需要找到使得\(G\)为真的所有解释。 - **知识点总结**： - **真值表**：通过列出所有可能的输入组合及其相应的输出结果来确定命题公式的真假情况。 - **命题公式的真值解释**：使得命题公式为真的所有输入组合。 ##### 8. 关系的复合运算 - **题目解析**：给定集合\(A=\{1,2,3,4\}\)，关系\(R_1 = \{(1,4),(2,3),(3,2)\}\)，\(R_2 = \{(2,1),(3,2),(4,3)\}\)。\(R_1 \circ R_2\)表示的是先通过\(R_2\)再通过\(R_1\)的复合关系，因此\(R_1 \circ R_2 = \{(1,3),(2,2),(3,1)\}\)。同样地，\(R_2 \circ R_1 = \{(2,4),(3,3),(4,2)\}\)。对于\(R_1\)的平方\(R_1^2\)，即\(R_1 \circ R_1\)，结果为\(\{(2,2),(3,3)\}\)。 - **知识点总结**： - **关系的复合运算**：两个关系的复合是指先通过一个关系再通过另一个关系的过程。 - **关系的平方**：对于关系\(R\)，\(R^2 = R \circ R\)表示的是通过两次\(R\)的关系。 ##### 9. 集合的补运算 - **题目解析**：对于集合\(A = \{x | -1 \leq x \leq 1, x \in \mathbb{R}\}\)和\(B = \{x | 0 \leq x < 2, x \in \mathbb{R}\}\)，集合\(A - B = \{x | -1 \leq x < 0, x \in \mathbb{R}\}\)表示的是属于\(A\)但不属于\(B\)的实数构成的集合；\(B - A = \{x | 1 < x < 2, x \in \mathbb{R}\}\)表示的是属于\(B\)但不属于\(A\)的实数构成的集合；\(A \cap B = \{x | 0 \leq x \leq 1, x \in \mathbb{R}\}\)表示的是同时属于\(A\)和\(B\)的实数构成的集合。 - **知识点总结**： - **集合的补运算**：\(A - B\)表示的是属于\(A\)但不属于\(B\)的元素组成的集合。 - **集合的交集运算**：\(A \cap B\)表示的是同时属于\(A\)和\(B\)的所有元素组成的集合。 ##### 10. 整除关系的表示 - **题目解析**：给定集合\(A = \{2, 3, 4, 5, 6\}\)，集合\(A\)上关于整除的关系\(R\)可以表示为\(\{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)\}\)。 - **知识点总结**： - **整除关系**：若\(a, b \in A\)，\(a\)能被\(b\)整除，则记作\(aRb\)。 ##### 11. 前束范式 - **题目解析**：一阶逻辑公式\(G = \forall x P(x) \lor \exists x Q(x)\)的前束范式是\(\forall x (\neg P(x) \lor Q(x))\)。在前束范式中，所有的量词都被移到了最前面。 - **知识点总结**： - **前束范式**：在一阶逻辑中，将所有量词移到公式最前面的形式。 ##### 12. 图的边数 - **题目解析**：对于一个具有8个顶点的树，要将其变成完全图，需要添加的边数为\(\binom{8}{2} - (8-1) = 21\)。这里用到了组合数的计算方法以及树的性质（树的边数等于顶点数减1）。 - **知识点总结**： - **完全图**：所有顶点两两相连的图。 - **组合数**：从\(n\)个不同元素中取出\(k\)个元素的组合数目。 ##### 13. 量词消去 - **题目解析**：对于谓词定义域为\(\{a, b\}\)的表达式\(\forall x R(x) \rightarrow \forall x S(x)\)，将量词消去后的命题公式为\((R(a) \land R(b)) \rightarrow (S(a) \lor S(b))\)。这是通过将量词下的变量替换为定义域中的元素实现的。 - **知识点总结**： - **量词消去**：将含有量词的一阶逻辑公式转化为不含量词的命题公式的过程。 ##### 14. 二元关系的复合 - **题目解析**：对于集合\(A=\{1,2,3,4\}\)上的二元关系\(R=\{(1,1),(1,2),(2,3)\}\)和\(S=\{(1,3),(2,3),(3,2)\}\)，它们的复合关系\(R \circ S\)为\(\{(1,3),(2,2)\}\)；\(R^2\)为\(\{(1,1),(1,2),(1,3)\}\)。 - **知识点总结**： - **二元关系的复合**：两个二元关系的复合是指先通过一个关系再通过另一个关系的过程。 #### 二、选择题知识点分析 ##### 1. 集合的成员关系 - **题目解析**：对于集合\(A=\{2,\{a\},3,4\}\)和\(B=\{\{a\},3,4,1\}\)，选项(C)是正确的，因为\(\emptyset \subseteq \{\{a\}\} \subseteq B \subseteq E\)，这里\(E\)表示全集。 - **知识点总结**： - **集合的包含关系**：若集合\(A\)中的所有元素都是集合\(B\)中的元素，则称\(A\)包含于\(B\)，记作\(A \subseteq B\)。 - **全集**：在特定的上下文中，全集是指包含该上下文中所有考虑的元素的集合。 ##### 2. 集合的关系 - **题目解析**：对于集合\(A=\{1,2,3\}\)上的关系\(R=\{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)\}\)，\(R\)是对称的，但不是反身的（因为它缺少\((2,2)\)）。另外，它也不是传递的（因为\((2,3)\)和\((3,2)\)都在\(R\)中，但是\((2,2)\)不在）。 - **知识点总结**： - **对称性**：对于集合\(A\)上的关系\(R\)，如果对于任意\(a, b \in A\)，\(aRb\)成立，则\(bRa\)也成立。 - **反身性**：对于集合\(A\)上的关系\(R\)，如果对于任意\(a \in A\)，\(aRa\)成立。 - **传递性**：对于集合\(A\)上的关系\(R\)，如果对于任意\(a, b, c \in A\)，如果\(aRb\)且\(bRc\)，则\(aRc\)也成立。