(完整版)数值分析课后习题答案.pdf

### 数值分析知识点详解 #### 一、绪论部分知识点 **知识点1：误差与误差限** - **定义**: 在数值分析中，误差通常是指计算结果与真实值之间的差异。 - **误差分类**： - **绝对误差**：计算值与真值之间的差。 - **相对误差**：绝对误差与真值的比例。 - **误差限**：表示误差大小的最大可能值。 **例题解析1**： 题目要求求解函数 \(f(x) = \ln x\) 的误差限，已知 \(x^*\) 的相对误差为 \(\delta\)。 - **解答过程**： - 根据误差传播原理，对于函数 \(f(x)\)，其误差限可通过泰勒展开来近似计算。 - 已知 \(x^*\) 的相对误差为 \(\delta\)，则 \(x^* = x(1 + \delta)\)。 - 由链式法则，\(\frac{df}{dx} = \frac{1}{x}\)。 - 根据误差传播公式（公式1.2.4），\(\Delta f = |f'(x)|\Delta x\)，这里 \(\Delta x = x\delta\)。 - 所以，\(f(x^*) - f(x) = \ln(x^*) - \ln(x) = \ln(1 + \delta) \approx \delta\)。 - 因此，\(f(x)\) 的误差限大约为 \(\delta\)。 **知识点2：有效数字及其误差限** - **定义**：有效数字是指在数值中具有实际意义的数字。 - **误差限**：有效数字的最后一位数字可能会产生的最大误差。 **例题解析2**： 题目要求指出几个数的有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 - **解答过程**： - 对于数值 123.456，有 5 位有效数字，其误差限为 0.0005，相对误差限为 \(\frac{0.0005}{123.456}\)。 - 对于数值 0.0023，有 2 位有效数字，其误差限为 0.00005，相对误差限为 \(\frac{0.00005}{0.0023}\)。 - 对于数值 0.00123456，有 5 位有效数字，其误差限为 0.0000005，相对误差限为 \(\frac{0.0000005}{0.00123456}\)。 #### 二、插值与函数逼近 **知识点3：插值方法** - **定义**：插值是在一组离散数据点之间找到一个连续函数的过程。 - **常用插值方法**： - **线性插值**：通过连接相邻数据点间的直线来进行插值。 - **多项式插值**：使用多项式函数来拟合数据点。 - **Lagrange 插值**：基于 Lagrange 基函数的多项式插值。 - **Newton 插值**：基于 Newton 分段多项式的方法。 **例题解析3**： 题目要求使用线性插值与二次插值计算 \(\ln 0.54\) 的近似值，并估计误差限。 - **解答过程**： - 使用 \(0.5\) 和 \(0.6\) 两点进行线性插值，得到 \(\ln 0.54\) 的近似值为 \(\hat{y}_1\)。 - 根据误差估计公式（5.8），误差限为 \(E_1\)。 - 使用 \(0.5\)、\(0.6\) 和 \(0.7\) 三点进行二次插值，得到 \(\ln 0.54\) 的近似值为 \(\hat{y}_2\)。 - 误差限为 \(E_2\)，通常 \(E_2 < E_1\)，表明二次插值提供了更精确的结果。 **知识点4：误差估计** - **定义**：误差估计是评估插值多项式的准确性。 - **误差估计公式**： - 对于线性插值：\(E(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{2!}f''(\xi)\)，其中 \(\xi\) 位于 \(x_0\) 和 \(x_1\) 之间。 - 对于二次插值：\(E(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)}{3!}f'''(\xi)\)，其中 \(\xi\) 位于 \(x_0\)、\(x_1\) 和 \(x_2\) 之间。 **例题解析4**： 题目要求给出在 \(-4 \leq x \leq 4\) 区间内，用二次插值法求某函数值的近似，使得误差不超过指定值。 - **解答过程**： - 根据误差估计式（5.8），为了使误差不超过指定值，需要计算函数的导数，进而确定步长 \(h\) 的上限。 - 步长 \(h\) 的选择需确保误差不超过给定阈值。 - 例如，假设要求误差不超过 \(\epsilon\)，则需要计算 \(h\) 使得 \(E(x) \leq \epsilon\) 成立。 #### 三、数值积分与数值微分 **知识点5：数值积分** - **定义**：数值积分是通过近似计算函数在某个区间的定积分。 - **常用方法**： - **复合梯形公式**：将区间分割成若干个小区间，在每个小区间内使用梯形规则近似积分。 - **Simpson 公式**：对函数进行二次拟合，然后计算拟合后的函数积分。 **例题解析5**： 题目要求分别用复合梯形公式及复合 Simpson 公式计算积分。 - **解答过程**： - 使用复合梯形公式（6.11）和复合 Simpson 公式（6.13）直接计算给定积分。 - 对于给定函数 \(f(x)\)，首先在区间 \([a, b]\) 上选取适当的分割点。 - 应用相应的公式计算积分的近似值。 **知识点6：求积公式精确度** - **定义**：求积公式的精确度是指该公式能够准确计算的最高次数的多项式的积分。 - **求积公式精确度的确定**： - 通过测试求积公式是否能准确计算不同次数的多项式积分来确定。 **例题解析6**： 题目要求确定给定求积公式中的待定参数，以使其代数精确度尽量高。 - **解答过程**： - 通过代入不同次数的多项式，并要求公式计算出的结果与真实积分值一致，以此来确定参数。 - 例如，对于公式 \((1)\)，可以通过代入 \(f(x) = 1, x, x^2\) 并使其与真实积分值相等来确定参数 \(A\) 和 \(B\)。 - 通过这种方法可以验证求积公式的代数精确度。