(完整版)高等数值分析48课时教案.doc

### 高等数值分析知识点概览 #### 第一章 绪论 - **知识点概述**： - **数值计算误差的来源与分类**：在数值分析中，理解误差的来源至关重要。误差通常分为舍入误差（由计算过程中的近似舍入导致）和截断误差（由数学模型或算法的简化而引入）。此外，还有观察误差和模型误差等。 - **病态问题与条件数**：病态问题是那些对输入参数微小变化极其敏感的问题。条件数是衡量病态问题的一个重要指标，它反映了输入变量的小扰动对输出的影响程度。 - **算法数值稳定性**：算法的数值稳定性指的是算法对舍入误差的敏感度。稳定的算法能够确保即使存在舍入误差，计算结果也不会出现显著偏差。 - **误差估计、误差与有效数字的计算**：误差估计是指对算法结果的准确性的量化评估。有效数字是表示一个数的精度的重要概念。 - **教学目标**： - 了解数值计算误差的基本概念及其分类。 - 掌握病态问题与条件数的定义及意义。 - 熟练运用误差估计的方法，并能正确计算有效数字。 - **重点与难点**： - 重点在于理解并掌握数值误差的估计方法以及如何判断算法的稳定性。 - 难点包括病态问题的识别与条件数的计算。 #### 第二章 插值法 - **知识点概述**： - **插值法概念**：插值是一种通过已知数据点构建函数的方法，旨在估计未知数据点的值。 - **拉格朗日插值**：基于拉格朗日基函数的一种插值方法，适用于任意分布的数据点。 - **牛顿插值**：利用差商来构造插值多项式，特别适用于数据点逐步增加的情况。 - **等距插值**：当数据点等间距分布时使用的插值方法。 - **埃尔米特插值与三次样条插值**：这些方法不仅可以插值函数本身，还可以插值其导数，从而获得更平滑的插值效果。 - **教学目标**： - 理解不同插值方法的应用场景及其优缺点。 - 掌握拉格朗日插值和牛顿插值的计算公式。 - 熟练应用三次样条插值解决实际问题。 - **重点与难点**： - 重点在于拉格朗日插值的计算公式及其误差估计。 - 难点包括理解和应用不同插值方法的误差估计公式，尤其是三次样条插值的复杂性。 #### 第三章 函数逼近与曲线拟合 - **知识点概述**： - **函数逼近**：通过较简单的函数（如多项式）来近似复杂函数的过程。 - **正交多项式**：一组特殊的多项式，它们在特定区间内具有良好的正交性质。 - **最佳一致逼近与最佳平方逼近**：前者寻求在最大误差最小的情况下找到最佳逼近函数；后者则是在平方误差最小的意义下寻找最佳逼近函数。 - **切比雪夫多项式逼近**：一种利用切比雪夫多项式的特殊性质进行的逼近方法。 - **最小二乘法曲线拟合**：通过最小化残差平方和来寻找最佳拟合曲线。 - **教学目标**： - 理解函数逼近的基本概念及其应用场景。 - 掌握切比雪夫多项式逼近和最佳平方逼近的计算方法。 - 熟练应用最小二乘法进行曲线拟合。 - **重点与难点**： - 重点在于理解切比雪夫多项式逼近和最佳平方逼近的概念及其计算方法。 - 难点在于区分不同的逼近方法，并掌握曲线拟合的具体步骤。 #### 第四章 数值积分与数值微分 - **知识点概述**： - **数值积分**：用数值方法近似计算定积分的过程。 - **机械求积公式**：如梯形公式、辛普森公式等，用于近似计算定积分。 - **复化求积公式**：通过对区间进行细分并分别应用简单求积公式来提高精度。 - **龙贝格求积公式**：一种通过外推技术提高精度的数值积分方法。 - **高斯求积公式**：利用特定的积分点和权重来构造高效的数值积分方案。 - **数值微分**：利用数值方法近似求导的过程。 - **教学目标**： - 了解数值积分的基本原理及其常见方法。 - 掌握梯形公式和辛普森公式的应用。 - 熟练应用复化求积公式和龙贝格求积公式提高积分精度。 - **重点与难点**： - 重点在于梯形公式、辛普森公式的应用及其误差估计。 - 难点包括理解和应用复化求积公式、龙贝格求积公式以及高斯求积公式的具体步骤。 高等数值分析是一门涵盖广泛数值计算方法的学科，旨在培养学生解决实际问题的能力。通过系统学习这些基本概念和技术，学生将能够在科学计算领域取得更好的成绩。