响应面分析之 python 方法（一）最速上升法
响应曲面法（Response Surface Methodology,RSM）是数学方法和统计方法结合的产物，
用于对感兴趣的响应受多个变量影响的问题进行建模和分析，以优化这个响应。例如，设一
位化学工程师想求出温度（x
1
）和压强（x
2
）的水平以使得过程的产率（y）达到最大值。产
率是温度水平和压强水平的函数，比方说
其中表示响应 y 的观测误差或噪音。如果记期望响应为
,则由
表示的曲面称为响应面。
例 11.1 一位化学工程师要确定使过程产率最高的操作条件。影响产率的两个可控变
量是反应时间和反应温度。工程师当前使用的操作条件是反应时间为 35 分钟，温度为
155℉，产率约为 40%，因为此区域不大可能包含最优值，于是她拟合一阶模型并应用最速
上升法。
这位工程师认为，所拟合的一阶模型的探测区域应该是反应时间为（30，40）分钟，
反应温度为（150，160）℉，为简化计算，将自变量规范在（-1，1）区间内。于是，如果
记
为自然变量时间，
为自然变量温度，则规范变量是
和
实验设计列在表 11.1 中，用来收集这些数据的设计是附加 5 个中心点的
析因设计，在
中心点处的重复试验用于估计实验误差，并可以用于检测一阶模型的合适性，而且，过程
的当前运行条件也就在设计的中心点处。
表 11.1 拟合一阶模型的过程数据
自然变量
规范变量
响应
30
150
-1
-1
39.3
30
160
-1
1
40.0
40
150
1
-1
40.9
40
160
1
1
41.5
35
155
0
0
40.3
35
155
0
0
40.5
35
155
0
0
40.7
35
155
0
0
40.2
35
155
0
0
40.6
使用最小二乘法，以一阶模型来拟合这些数据，用二水平设计的方法，可以求得规范
变量表示的下列模型：
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