复变函数答案（第四版）_高等教育出版社

复变函数是数学领域中的一个重要分支，主要研究复数域上的解析函数。这一学科在工程、物理、控制理论以及许多其他科学领域都有广泛的应用。《复变函数答案（第四版）》是由高等教育出版社出版的一本参考资料，其目标是帮助学习者理解和掌握复变函数的基本概念、理论和应用。 复变函数的核心概念包括： 1. **复数**：复数由实部和虚部构成，形式为a + bi，其中i是虚数单位，满足i² = -1。复数的运算遵循加法、减法、乘法和除法的规则。 2. **复平面**：复数可以用直角坐标系中的点来表示，即复平面上的每一个点对应一个复数，形成了复数的几何表示。 3. **解析函数**：如果一个函数在复平面上某区域内对所有方向的导数都存在，并且满足Cauchy-Riemann方程，那么这个函数就是该区域内的解析函数。解析函数的一个重要特性是它在该区域内可以无限次微分。 4. **Cauchy-Riemann方程**：这是复变函数解析性的必要条件，它由两个偏微分方程组成，用来描述实函数和虚函数的偏导数关系。 5. **复积分**：复变函数的积分比实变函数的积分更简单且强大。Cauchy积分定理指出，沿闭合曲线的复积分只依赖于曲线所围成的区域内的函数值，而不依赖于具体路径。 6. **留数定理**：留数定理是复分析中的一项基本定理，它将复积分与函数在孤立奇点处的留数联系起来，是计算复积分的一种强大工具。 7. **级数展开**：复变函数可以展开为幂级数或洛朗级数，例如，解析函数在某个点的邻域内总能展开为泰勒级数，而具有极点的函数则可以展开为洛朗级数。 8. **黎曼映射定理**：这表明任何连通的开集都可以通过一个单值解析函数映射到单位圆盘。 9. **保形映射**：复变函数的一个重要性质是它保持角度和形状，这就是所谓的保形性。这种性质在几何问题和工程问题中有广泛应用。 10. **解析延拓**：如果一个函数在一个区域是解析的，我们有时可以找到一种方法将其扩展到更大的区域，这个过程称为解析延拓。 通过《复变函数答案（第四版）》，读者可以详细解答书中的练习题，巩固复变函数的基本知识，加深理解，并提高解决实际问题的能力。这本书对于正在学习复变函数的学生或需要复变函数知识作为工具的科研工作者来说，是一份非常有价值的参考资料。解答详尽，易于理解，有助于提升学习效果。