压缩感知（Compressed Sensing，CS）是一种新兴的信号处理技术，它颠覆了传统观念，表明我们可以用远少于奈奎斯特定理所要求的采样率来重构高分辨率信号。这一理论的核心在于，如果一个信号是稀疏的或者可以在某个基或变换域内表示为稀疏的，那么我们可以通过少量的随机采样来恢复该信号。
小波变换（Wavelet Transform）是压缩感知中的一个重要工具，因为它能提供多尺度、多分辨率的信号分析。在小波变换中，信号可以被分解成一系列不同频率和位置的小波函数，这使得我们能够更容易地识别信号中的局部特征，如突变或奇异点。奇异检测（Singularity Detection）正是利用这种特性，寻找信号中不寻常的、尖锐的或者突然的变化点，这些点可能对应着信号的重要信息或异常事件。
在压缩感知框架下进行奇异检测，首先需要对信号执行小波变换，将信号从时域转换到小波域。在小波域中，信号的奇异点通常表现为系数的显著增大。通过分析这些系数的大小和变化，可以定位信号的奇异点。这个过程可以借助数学工具，如L1范数最小化，因为L1范数有良好的稀疏性诱导效果，能促使非奇异部分系数趋近于零，而奇异点对应的系数保持大值。
singularity_detection.m 文件很可能是实现这一奇异检测算法的MATLAB代码。在该代码中，可能包含了以下步骤：
1. **信号预处理**：对原始信号进行必要的预处理，如去除噪声、平滑处理等。
2. **选择小波基**：根据信号特性选择合适的小波基函数，如Daubechies小波、Morlet小波等。
3. **小波变换**：对预处理后的信号进行小波分解，得到不同尺度和位置的小波系数。
4. **奇异点检测**：通过分析小波系数的绝对值或模平方，找出系数值显著增大的点，这些点对应着信号的奇异点。
5. **后处理**：将检测到的奇异点位置转换回时域，进行进一步的分析或处理。
在实际应用中，压缩感知结合小波变换的奇异检测方法广泛应用于图像处理、医学成像、故障诊断、金融数据分析等领域。例如，在医学成像中，可以检测到病灶区域；在工业设备故障诊断中，可以帮助提前发现设备异常，预防故障发生。由于其高效性和准确性，这种方法对于处理大规模复杂数据尤其有价值。
