第18章 变分法模型.pdf

《第18章 变分法模型》 变分法是一种经典的数学方法，主要用于研究泛函极值问题，尤其在动态优化领域具有广泛的应用。在动态优化问题中，目标是找到最优的控制函数，使得某个泛函达到最大值或最小值。当控制函数的类型已知时，问题转化为寻找常规函数的极值。 1. 变分法基础 1.1.1 泛函 泛函是一类特殊的数学对象，它将函数集合中的每个函数映射到一个实数值。如果集合S中的每个函数tx对应的实数是J，那么J就被称为定义在S上的泛函。例如，二维平面上通过两点A(1,1)和B(2,2)的光滑曲线绕x轴旋转形成的旋转体的侧面积就是一个具体的泛函，它与曲线的形状有关。 1.1.2 泛函的极值 泛函的极值是指在容许函数集中，存在一个函数使得泛函的值达到最小或最大。对于极小值，意味着对于任何与之相近的函数，泛函的值不会更小；而对于极大值则是相反的情况。接近通常通过函数间的距离来度量。 1.1.3 泛函的变分 变分是函数在某一点的微小变化，它对应于泛函增量的线性部分。如果这个线性部分可以被明确表示出来，我们就说找到了泛函的变分。变分与函数微分类似，但处理的是函数本身而非单个变量的变化。 1.1.4 极值与变分的关系 如果泛函在某一点达到极值，那么该点处的变分为零。这是利用变分表达式作为参数的导数这一性质得出的结论，也是求解泛函极值问题的关键。 1.1.5 变分法的基本引理 变分法的基本引理提供了一种关于函数集合不变性的结果，对于理解泛函的性质和求解过程有重要作用。 2. 无约束条件的泛函极值 在无约束条件下，求解泛函极值的问题通常涉及求解泛函积分的形式，其中积分的被积函数包含未知函数及其导数。通过应用变分法，可以找到使泛函达到极值的函数。 总结来说，变分法是解决动态优化问题的核心工具，它通过分析函数的变分来寻找使泛函达到极值的控制函数。这一理论在物理、工程、经济等多个领域都有广泛应用，如计算力学、最优化理论、控制系统设计等。理解并掌握变分法的基本概念和技巧，对于解决实际问题具有重要意义。