直接插入排序、希尔排序、起泡排序、快速排序、简单选择排序、堆排序、二路归并排序

### 直接插入排序 #### 算法思想 直接插入排序是一种简单的排序算法，它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。 #### 代码实现 由于题目中并未给出具体的代码实现，这里提供一个典型的直接插入排序的伪代码实现： ```cpp void InsertionSort(int arr[], int n) { for (int i = 1; i < n; i++) { int key = arr[i]; int j = i - 1; while (j >= 0 && arr[j] > key) { arr[j + 1] = arr[j]; j--; } arr[j + 1] = key; } } ``` #### 时间复杂度与空间复杂度 - 最好情况时间复杂度：O(n)，当输入数组已经是有序的情况下。 - 最坏情况时间复杂度：O(n^2)，当输入数组是逆序排列时。 - 平均时间复杂度：O(n^2)，对于随机数据集。 - 空间复杂度：O(1)，因为这是一个原地排序算法。 ### 希尔排序 #### 算法思想 希尔排序是对直接插入排序的一种改进。它通过将原始数组分成多个子数组，每个子数组中的元素之间的距离为某个增量。然后对这些子数组进行插入排序，随着增量逐渐减少至1，最终整个数组变为有序。 #### 代码实现 希尔排序的伪代码实现如下： ```cpp void ShellSort(int arr[], int n) { int gap = n / 2; while (gap > 0) { for (int i = gap; i < n; i++) { int temp = arr[i]; int j = i; while (j >= gap && arr[j - gap] > temp) { arr[j] = arr[j - gap]; j -= gap; } arr[j] = temp; } gap /= 2; } } ``` #### 时间复杂度与空间复杂度 - 时间复杂度取决于增量序列的选择，常见的时间复杂度估计为 O(n^(3/2)) 或者 O(n log^2 n)。 - 空间复杂度：O(1)，同样是原地排序。 ### 起泡排序 #### 算法思想 起泡排序通过重复地遍历列表，比较相邻的元素并交换它们（如果顺序错误）。每次遍历都会将当前最大的元素“冒泡”到最后。 #### 代码实现 起泡排序的伪代码实现如下： ```cpp void BubbleSort(int arr[], int n) { bool swapped; for (int i = 0; i < n - 1; i++) { swapped = false; for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) { if (arr[j] > arr[j + 1]) { swap(arr[j], arr[j + 1]); swapped = true; } } if (!swapped) break; } } ``` #### 时间复杂度与空间复杂度 - 最好情况时间复杂度：O(n)，当数组已经是有序时。 - 最坏情况时间复杂度：O(n^2)，当数组是逆序时。 - 平均时间复杂度：O(n^2)，对于随机数据集。 - 空间复杂度：O(1)，因为是原地排序。 ### 快速排序 #### 算法思想 快速排序是一种高效的排序算法，基于分治策略。它选择一个“枢轴”元素，然后重新排列数组，使得枢轴左侧的所有元素都小于枢轴，右侧的所有元素都大于枢轴。然后递归地对左右两侧的子数组进行排序。 #### 代码实现 快速排序的伪代码实现如下： ```cpp void QuickSort(int arr[], int low, int high) { if (low < high) { int pi = Partition(arr, low, high); QuickSort(arr, low, pi - 1); QuickSort(arr, pi + 1, high); } } int Partition(int arr[], int low, int high) { int pivot = arr[high]; int i = (low - 1); for (int j = low; j <= high - 1; j++) { if (arr[j] < pivot) { i++; swap(arr[i], arr[j]); } } swap(arr[i + 1], arr[high]); return (i + 1); } ``` #### 时间复杂度与空间复杂度 - 最好情况时间复杂度：O(n log n)，当每次分区都是均匀的。 - 最坏情况时间复杂度：O(n^2)，当每次分区都是不均匀的。 - 平均时间复杂度：O(n log n)，对于随机数据集。 - 空间复杂度：O(log n)，递归栈的空间需求。 ### 简单选择排序 #### 算法思想 简单选择排序在未排序序列中找到最小（或最大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。 #### 代码实现 简单选择排序的伪代码实现如下： ```cpp void SelectionSort(int arr[], int n) { for (int i = 0; i < n - 1; i++) { int min_idx = i; for (int j = i + 1; j < n; j++) if (arr[j] < arr[min_idx]) min_idx = j; swap(arr[min_idx], arr[i]); } } ``` #### 时间复杂度与空间复杂度 - 时间复杂度：O(n^2)，无论是最好的还是最坏的情况。 - 空间复杂度：O(1)，因为是原地排序。 ### 堆排序 #### 算法思想 堆排序利用了堆这种特殊的树形数据结构。堆可以是大顶堆或小顶堆。堆排序的过程是首先将数组构造成一个堆，然后逐步取出堆顶元素放入有序数组的末尾。 #### 代码实现 堆排序的伪代码实现如下： ```cpp void Heapify(int arr[], int n, int i) { int largest = i; int l = 2 * i + 1; int r = 2 * i + 2; if (l < n && arr[l] > arr[largest]) largest = l; if (r < n && arr[r] > arr[largest]) largest = r; if (largest != i) { swap(arr[i], arr[largest]); Heapify(arr, n, largest); } } void HeapSort(int arr[], int n) { for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) Heapify(arr, n, i); for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { swap(arr[0], arr[i]); Heapify(arr, i, 0); } } ``` #### 时间复杂度与空间复杂度 - 时间复杂度：O(n log n)，无论是最好的还是最坏的情况。 - 空间复杂度：O(1)，因为是原地排序。 ### 二路归并排序 #### 算法思想 二路归并排序是分治策略的一个经典应用。它首先将数组分成两半，然后递归地排序每一半，最后将两个有序的数组合并成一个有序数组。 #### 代码实现 二路归并排序的伪代码实现如下： ```cpp void Merge(int arr[], int l, int m, int r) { int n1 = m - l + 1; int n2 = r - m; int L[n1], R[n2]; for (int i = 0; i < n1; i++) L[i] = arr[l + i]; for (int j = 0; j < n2; j++) R[j] = arr[m + 1 + j]; int i = 0, j = 0, k = l; while (i < n1 && j < n2) { if (L[i] <= R[j]) { arr[k] = L[i]; i++; } else { arr[k] = R[j]; j++; } k++; } while (i < n1) { arr[k] = L[i]; i++; k++; } while (j < n2) { arr[k] = R[j]; j++; k++; } } void MergeSort(int arr[], int l, int r) { if (l < r) { int m = l + (r - l) / 2; MergeSort(arr, l, m); MergeSort(arr, m + 1, r); Merge(arr, l, m, r); } } ``` #### 时间复杂度与空间复杂度 - 时间复杂度：O(n log n)，无论是最好的还是最坏的情况。 - 空间复杂度：O(n)，因为需要额外的空间用于合并操作。