1.实验7-1传染病模型2.doc
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【实验7-1 传染病模型2 - SI模型】 在数学模型中,传染病模型是一种用于研究疾病传播动态的工具。实验7-1涉及的是SI(易感-感染)模型,该模型假设人口分为两个群体:易感者(S)和感染者(I)。在这个模型中,没有康复或死亡的概念,所有感染者一直保持感染状态。模型的核心方程是: \[ \frac{di}{dt} = ki(1-i) \] 这里,\( \frac{di}{dt} \)表示感染人数随时间的变化率,\( i(t) \)是第t天感染者在总人数中所占的比例,\( k \)是每个病人每天有效接触的平均人数(日接触率),\( i_0 \)是初始时刻(\( t=0 \))病人的比例。 实验要求画出\( \frac{di}{dt} \)与\( i \)的关系曲线。为了实现这个目标,可以编写一个MATLAB M文件,利用`fplot`函数绘制曲线。例如,对于\( k=0.1 \),可以使用以下代码: ```matlab fplot('0.1*x*(1-x)', [0 1.1 0 0.03]); ``` 为了找到\( \frac{di}{dt} \)达到最大值的\( i \)值,可以使用MATLAB的`fminbnd`函数来求解区间内的最小值,因为我们要找的是导数的最小值,也就是原函数的最大值。例如: ```matlab x = fminbnd('-0.1*x*(1-x)', 0, 1); ``` 然后,利用`plot`函数在图上标出这个最大值点: ```matlab hold on; plot([0 x], [y y], ':', [x x], [0 y], ':'); ``` 同时,使用`text`函数添加文本标注,例如标注最大值点和曲线标题: ```matlab text(0, y, '(di/dt)_{max}', 'VerticalAlignment', 'bottom'); text(x, -0.001, num2str(x), 'HorizontalAlignment', 'center'); title('SI模型 di/dt~i 曲线'); xlabel('i'); ylabel('di/dt'); ``` 【实验7-2 传染病模型2 - SI模型】 实验7-2则要求画出\( i \)随时间\( t \)变化的曲线。同样基于方程\( \frac{di}{dt} = ki(1-i) \),我们需要解这个常微分方程,找出\( i(t) \)的解析解,然后根据初始条件(如\( i(0)=0.15 \),\( k \)值未给出)和时间范围绘制曲线。通常,这可以通过数值方法如欧拉法或龙格-库塔法来完成,或者使用MATLAB的`ode45`等内置函数。 这两个实验都旨在理解传染病模型如何预测疾病传播趋势,并通过图形化结果来分析模型的行为。通过绘制这些曲线,我们可以直观地看到疾病如何随着时间发展,以及感染率在不同阶段的变化情况。这对于公共卫生决策和疾病控制策略的制定具有重要意义。
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