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姜萍那道题的几何证明
kipo 2024
年
7
月
30
日
各位看官好，在下
kipo
。
姜萍做的那道题我也做了，用的是比较直观的几何解法。
这就是姜萍做的那道题（网传阿里要求的，后来辟谣了）
姜萍的解法用到了
Γ
函数。
Γ
函数就是伽马函数，
Γ
音
Gama
，大写希腊字母，大家比较熟
悉的是它的小写形式
γ
，经常用来表示一种射线（这是照顾下我朋友圈里的朋友，各个年近
半百，多年不学数学了）。这函数在同济第七版高数第
268
页，与积分相关，再具体一点就
是余元公式，大家记不起来的可以翻翻课本。我上学时学的经济类的数学，同济版的是毕业
后自学的。
那
Γ
函数太抽象，然后还要求导，我看了直接蒙圈。关键是即使用这种方法把题证明了，
我们似乎感受不到背后发生了什么。尤其像我这种脑子比较笨的，如果数学表达不能联系到
一些物理量或者几何图形，感觉就是似懂非懂，其实就是完全没懂，但是如果能映射到物理
或者几何，最好再拍成动画片，那就非常适合我了。
闲言少叙，我来讲讲我的解题历程。原题需要做一些基本的变换。
1.
题出的有误，
ω
定义域的限定的不全，
ω
不能等于
-2πk
，这是显而易见的。
2.
左式：把分母中
π
提到括号外面变成
π
2
括号里面就变成了
(k+ω/2π)
。
(csc
是余割函数，与正弦互为倒数，
sinα·cscα=1
，照顾下我朋友圈里的老人，见谅
)
3.
因为左式是从
k=- ∞
一直加和到
k=+∞,
如果
ω/2π
的整数部分是
N
，小数部分是
x
，
然后我们把括号里
ω/2π
换成
x
的话，求和时
k
的上下界需要加
N
，以保持与原式等价，但是
±∞+N=±∞,
没变化，所以
ω/2π
可以直接替换成其小数部分
x
。
我们令
x=ω/2π
的小数部分，这样一来表达式变简单了很多，这主要的是为了我本次打
字排版方便。这种事在下也是第一次干。
x
∈
(-1,1)
但是
x≠0.
4.
这样一来，原式左边（我们把它设为
S
）就变成了下面的
S1 + S2,
由于对应函数的
对称性，我们只研究
x
∈
(0,1)
便可。
S=S1+S2
S1= ( )/π
2
S2= ( )/π
2
显而易见：
S2 =( )/π
2
这一下子让我想到了巴塞尔问题，也就是所有自然数平方后取倒数加和，从分类上讲，
这个属于黎曼
ζ
函数
ζ(s)
。嗯，黎曼函数，研究过的都知道，这个非常的高大上。我忽然想起
电影《功夫》里的一句台词：
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