### 2010年东北大学研究生入学考试代数基础试题知识点解析
#### 一、单项选择题
**1. 非齐次线性方程组无解的条件**
对于非齐次线性方程组，如果它无解，则正确的选项是 **C**：“其增广矩阵的秩比系数矩阵的秩大1”。这是因为根据克莱姆法则，当非齐次线性方程组无解时，意味着增广矩阵的秩与系数矩阵的秩不相等，而增广矩阵的秩比系数矩阵的秩大1，即增广矩阵中存在一个或多个列无法通过其他列的线性组合来表示。
**2. 直和的条件**
题目询问了两个子空间[pic]和[pic]形成直和的条件，正确答案是 **(D)**：“[pic]和[pic]的基合并后为[pic]的基”。直和是指两个子空间的交集只包含零向量，并且这两个子空间的基合并后可以形成整个空间的一个基。这符合直和的定义。
**3. 矩阵相似于对角阵的条件**
对于n阶矩阵[pic]相似于对角阵的情况，正确选项是 **(A)**：“[pic]有n个线性无关的特征向量”。这是因为矩阵能够对角化的充分必要条件之一是它拥有n个线性无关的特征向量。这表明矩阵可以通过特征向量组成的基来进行对角化。
**4. 正交变换的性质**
题目中询问了一个关于正交变换的错误命题，正确答案是 **(C)**：“正交变换在任何一组标准正交基下的矩阵的行列式等于1”。实际上，正交变换的行列式可能为±1，这取决于正交变换是否保持了向量的方向。如果行列式为1，则变换保持了方向；如果行列式为-1，则变换反转了方向。
**5. 不是群G的子群**
题目询问哪一个选项不是群G的子群。选项 **(B)**：“所有的n阶实正交矩阵对矩阵的加法运算”是正确的。因为正交矩阵的加法不一定是正交矩阵，因此这个集合在矩阵加法下不封闭，不符合子群的定义。
#### 二、填空题
**1. 向量的线性无关性**
如果[pic]不能由[pic]，[pic]，[pic]线性表出，则这些向量是线性无关的。这意味着不存在非零系数使得[pic]成立。这种情况下，向量组的秩等于向量的个数。
**2. 线性空间的维数**
对于实数域上全体主对角线元素之和为零的n阶上三角矩阵，关于矩阵的加法和数乘形成的线性空间的维数等于n(n-1)/2+n-1。这是因为除了主对角线上的n-1个自由变量外，每个非主对角线位置都有一个独立变量，共有n(n-1)/2个这样的位置。
**3. 二次型的正惯性指数**
二次型[pic]的正惯性指数是指在该二次型的标准形式中，正特征值的数量。这个数字依赖于二次型的具体形式，通常需要通过计算二次型的矩阵的特征值来确定。
**4. 相似矩阵的特征值**
如果4阶矩阵A相似于B，并且A的特征值为2,3,4,5，那么B的特征值也是2,3,4,5。因此，\[det(B-E)\]的值为\((2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=1*2*3*4=24\)。
**5. 循环群的生成元**
5阶循环群有φ(5)=4个生成元，其中φ表示欧拉函数，用于计算小于或等于n的正整数中与n互质的数的数量。
#### 三、解答题
**1. 解方程组**
题目要求求解特定的方程组，解这类问题通常涉及矩阵运算，如高斯消元法等方法来求解未知数。
**2. 计算矩阵**
此类题目要求计算矩阵的某些性质或值，一般涉及到矩阵的运算规则。
**3. 证明群的性质**
证明群的单位元及每个元素的逆元都是唯一的，这是群论的基础内容之一。此外，题目还要求证明某个集合构成群的条件。
**4. 证明线性变换的可逆性**
题目要求证明特定条件下线性变换的可逆性，这通常涉及到线性变换的性质、矩阵的秩等概念。
**5. 证明矩阵的性质**
此题要求证明两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵，这涉及到正交矩阵的定义及其性质。
**6. 证明矩阵的特征值**
题目要求证明矩阵的特征值特性，这类证明往往需要用到矩阵幂的概念以及矩阵的秩等相关性质。
**7. 求二次型的规范型**
题目要求求解特定二次型的规范型，这通常需要将二次型转化为标准形式，并利用线性变换来简化问题。
**8. 证明子空间的存在性**
题目要求证明特定集合构成子空间，并求出特定条件下子空间的基和维数，这类题目通常需要结合向量空间的基本概念进行分析。
以上是对2010年东北大学研究生入学考试代数基础试题中部分知识点的详细解析。希望这些内容能够帮助到正在准备相关考试的学弟学妹们。
