《第二章 最优化理论与方法》
在最优化理论中，凸集与凸函数的概念扮演着核心角色。我们来深入理解什么是凸集。在数学中，一个集合D被认为是凸集，如果对于该集合中的任意两点x和y以及任何在0到1之间的实数a，点ax+(1-a)y也属于D。简单来说，这意味着从集合内的任意两点画一条直线，这条直线上的所有点都仍在集合内。例如，空集、整个欧式空间Rn以及超平面和半空间都是凸集。
凸集有一些重要的性质。多个凸集的交集仍然是凸集。证明这个性质时，我们可以观察到，如果x和y在每个凸集D1, D2, ..., Dk内，那么它们的任意线性组合也在这些集合的交集内。凸集的标量乘积，即β D，也是凸集。这是因为如果x在D中，那么β x也在β D中，对于任何β的线性组合也是如此。两个凸集D1和D2的和集D1+D2，即所有形式为x+z的点，其中x在D1中，z在D2中，也是一个凸集，但要注意的是，凸集的并集不一定是凸的。
凸集的极点是凸集理论中的一个重要概念。一个点x是凸集D的极点，如果它不能被D中其他不同点的线性组合表示。例如，在单位球面上，球面边界上的所有点都是极点，因为没有其他两个点的线性组合能形成边界上的点，除非这两个点本身就是同一个点。
接下来，我们转向凸函数。一个函数f(x)在凸集D上是凸的，如果对于D中的任意两点x和y以及任意a∈[0,1]，f(ax+(1-a)y)小于等于af(x)+(1-a)f(y)。这意味着函数的图形在连接任意两点的线上方或在其上。在二维空间中，一个函数是凸的，意味着它的图形看起来像一个碗状，任何两点间的连线都在函数图像的下方。
凸函数有很多重要的应用，特别是在最优化问题中，因为它们保证了局部最优解也是全局最优解，这简化了寻找最优解的过程。此外，许多实际问题如经济学、工程学和机器学习中的优化问题都可以用凸函数来建模。
理解和掌握凸集和凸函数的概念是理解和解决最优化问题的基础。在后续的学习中，我们将进一步探讨如何利用这些概念来设计和分析优化算法，以及它们在实际问题中的应用。
