组合数学讲义
一、排列与组合的基本概念
1．两个原理：
(1)加法原理 (分类计数原理)：完成一件事，有n类办法，如果在第 1 类办法中有m
1
种不同的方法，
在第 2 类办法中有m
2
种不同的方法，…，在第n类办法中有m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有：N
＝m
1
+m
2
+……+m
n
种不同的方法。
(2)乘法原理 (分步计数原理)：完成一件事，需要分成n个步骤，如果做第 1 步有m
1
种不同的方法，
做第 2 步有m
2
种不同的方法，……，做第n步有m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m
1
×m
2
×…
×m
n
种不同的方法。
(3)两个原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分
步完成”。
例题一：
从北京到天津火车有 10 个车次，汽车有 12 个班次，飞机有 2 个航班，从天津到上海火车有 10 个车
次，汽车有 8 个班次，飞机有 8 个航班，轮船有 2 个班次，
(1)问：从北京到天津有多少种不同的到达方法? 24
(2)问：从北京经天津到上海有多少种不同的到达方法。 672
2．排列与排列数
(1)排列：从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不
同的元素中取出 m 个元素的一个排列。相同的排列是指元素相同且顺序相同。
(2)排列数：从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同的元
素中取出 m 个元素的排列数，用符号
表示。
排列数公式：
=n!/(n-m)!
(3)全排列：把 n 个不同的元素全部取出(从 n 个不同的元素中取出 n 个元素)，按照一定的顺序
排成一列，叫做 n 个不同的元素的一个全排列，全排列的个数叫做 n 个元素的全排列数，用符号
表示。此时， =n(n-1)(n-2)……3·2·1=n！n!表示正整数 1 到 n 的连乘，叫做 n 的阶乘。
因此：
，规定：0!＝1。
例题一：
7 人站在一排，
(1)甲站在中间的不同排法有___________种；
(2)甲、乙相邻的不同排法有_____________种；
(3)甲、乙不相邻的不同排法有___________种；
(4)甲站在乙的左边的不同排法有_____________种；
(5)甲不站在左端，乙不站在右端的不同排法有___________种。
解析：
求满足条件的排列数需要从特殊条件的元素入手，先排好特殊元素，对于没有要求的元素进行
全排列即可。
(1)先排甲：
(此时的中间指正中间)；
(2)先排甲、乙：
＝1440(相邻的问题采用“捆绑”的方法，把甲、乙二人排好后看作一人，
再与其他五人，共六人全排列)；
(3)先排甲、乙：
＝3600(不相邻的问题采用插空的方法，没有要求的五个人排好后出现六
个空，甲、乙二人站在其中的两个空中)；
(4)由于七个人站好以后，甲在乙的左边，与甲在乙的右边的情况是一样的，因此满足条件的不
同排法为：
＝2520 种；
(5)由于甲站不站在右端对乙有影响，因此满足条件的站法被分为两类：甲站右端，甲不站右端，
甲站右端：
=720；甲不站右端： =3000，共有 3720 种不同的站法。
也可：
＝3720(用七个人的全排列减去甲在左端，再减去乙在右端，再加上甲
在左端且乙在右端)。
1
