朴素集合论---刘壮虎

### 朴素集合论知识点概述 #### 一、朴素集合论概览 朴素集合论是由刘壮虎教授撰写的，本书采用朴素而非公理化的视角来介绍集合论的基本内容。相较于公理集合论试图通过一系列公理来严格定义集合概念以避免悖论的做法，朴素集合论更注重集合概念的直观理解及其在数学中的应用。 #### 二、集合的基本概念与性质 **1.1 集合的概念** - **定义**: 集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。 - **元素**: 组成集合的对象称为该集合的元素。 - **记号**: 使用大写字母如\(A\), \(B\)等表示集合，小写字母如\(a\), \(b\)等表示元素。若\(a\)是集合\(A\)的元素，则写作\(a \in A\)。 **1.2 子集与幂集** - **子集**: 若集合\(A\)中的每一个元素都是集合\(B\)的元素，则称\(A\)是\(B\)的子集，记作\(A \subseteq B\)。 - **真子集**: 如果\(A\)是\(B\)的子集且存在至少一个元素属于\(B\)但不属于\(A\)，则称\(A\)是\(B\)的真子集，记作\(A \subset B\)。 - **幂集**: 对于任何集合\(A\)，所有\(A\)的子集构成的集合称为\(A\)的幂集，记作\(P(A)\)。 **1.3 集合的交和并** - **并集**: 两个集合\(A\)和\(B\)的所有元素构成的新集合称为\(A\)和\(B\)的并集，记作\(A \cup B\)。 - **交集**: 同时属于集合\(A\)和\(B\)的所有元素构成的新集合称为\(A\)和\(B\)的交集，记作\(A \cap B\)。 **1.4 集合的差** - **差集**: 集合\(A\)中去掉集合\(B\)的所有元素后剩下的元素构成的集合称为\(A\)对\(B\)的差集，记作\(A - B\)。 **1.5 集合族** - **定义**: 一组集合的集合称为集合族。 - **例子**: 设\(A = \{1, 2\}\)，\(B = \{2, 3\}\)，\(C = \{1, 3\}\)，则\(\mathcal{F} = \{A, B, C\}\)是一个集合族。 **1.6 卡氏积** - **定义**: 对于两个集合\(A\)和\(B\)，\(A\)和\(B\)的卡氏积定义为所有形如\((a, b)\)的有序对的集合，其中\(a \in A\)，\(b \in B\)。记作\(A \times B\)。 #### 三、映射 **2.1 映射的概念** - **定义**: 从集合\(A\)到集合\(B\)的映射是一种规则，使得对于\(A\)中的每个元素\(a\)，在\(B\)中有一个唯一确定的元素\(b\)与之对应。 - **记号**: 若\(f\)是从\(A\)到\(B\)的映射，则记作\(f: A \to B\)。 **2.2 单射、满射与双射** - **单射**: 若对于任意两个不同的元素\(a_1, a_2 \in A\)，都有\(f(a_1) \neq f(a_2)\)，则称\(f\)是单射。 - **满射**: 若对于\(B\)中的每一个元素\(b\)，都存在\(A\)中的某个元素\(a\)使得\(f(a) = b\)，则称\(f\)是满射。 - **双射**: 若\(f\)既是单射又是满射，则称\(f\)是双射。 **2.3 映射的复合** - **定义**: 设\(f: A \to B\)，\(g: B \to C\)，则\(g \circ f: A \to C\)称为\(f\)与\(g\)的复合映射，定义为\((g \circ f)(a) = g(f(a))\)。 **2.4 子集的像与逆像** - **像**: 设\(f: A \to B\)，\(S \subseteq A\)，则\(f(S)\)定义为\(S\)在\(B\)中的像。 - **逆像**: 设\(f: A \to B\)，\(T \subseteq B\)，则\(f^{-1}(T)\)定义为\(T\)在\(A\)中的逆像。 **2.5 映射族与一般卡氏积** - **映射族**: 一组映射的集合。 - **一般卡氏积**: 对于多个集合\(A_1, A_2, ..., A_n\)，其一般卡氏积定义为所有形如\((a_1, a_2, ..., a_n)\)的有序组的集合。 #### 四、关系 **3.1 关系与二元关系** - **关系**: 在集合\(A\)上的关系是一种从\(A\)到\(A\)的映射。 - **二元关系**: 形式上，如果\(R\)是从\(A\)到\(B\)的映射，则称\(R\)是\(A\)与\(B\)之间的二元关系。 **3.2 等价关系** - **定义**: 若一个二元关系\(R\)满足自反性（对于所有\(a \in A\)，有\(aRa\)）、对称性（对于所有\(a, b \in A\)，若\(aRb\)则\(bRa\)）和传递性（对于所有\(a, b, c \in A\)，若\(aRb\)且\(bRc\)，则\(aRc\)），则称\(R\)是等价关系。 - **等价类**: 由等价关系\(R\)在集合\(A\)上产生的所有等价类构成了\(A\)的一个划分。 **3.3 偏序关系** - **定义**: 一个二元关系\(R\)称为偏序关系，如果它满足自反性、反对称性和传递性。 - **最小元与最大元**: 在偏序集中，如果存在一个元素小于等于所有其他元素，则称其为最小元；如果存在一个元素大于等于所有其他元素，则称其为最大元。 **3.4 偏序集** - **定义**: 偏序集是指定义了一个偏序关系的集合。 - **上界与下界**: 在偏序集中，对于子集\(S\)，如果存在一个元素\(b\)，使得对于所有\(s \in S\)都有\(s \leq b\)，则称\(b\)为\(S\)的上界；如果存在一个元素\(a\)，使得对于所有\(s \in S\)都有\(a \leq s\)，则称\(a\)为\(S\)的下界。 #### 五、基数 **4.1 集合的基数** - **定义**: 两个集合\(A\)和\(B\)如果存在一个双射\(f: A \to B\)，则称\(A\)和\(B\)是等势的，此时它们的基数相同。 - **基数的分类**: 集合按照基数的不同可分为有限集和无限集两大类。 **4.2 基数的大小与Bernstain定理** - **比较基数的大小**: 如果集合\(A\)和\(B\)之间存在一个从\(A\)到\(B\)的单射但不存在双射，则称\(A\)的基数小于\(B\)的基数。 - **Bernstain定理**: 若存在从集合\(A\)到集合\(B\)的单射以及从集合\(B\)到集合\(A\)的单射，则\(A\)和\(B\)之间存在双射，即它们的基数相等。 **4.3 有限集与无限集** - **有限集**: 如果一个集合的基数等于某个自然数，则称该集合为有限集。 - **无限集**: 如果一个集合不是有限集，则称该集合为无限集。 **4.4 幂集与卡氏幂的基数** - **幂集的基数**: 对于任意集合\(A\)，它的幂集\(P(A)\)的基数总是大于\(A\)本身的基数。 - **卡氏幂**: 如果集合\(A\)的基数为\(n\)，那么它的幂集的基数为\(2^n\)。 **4.5 基数的运算** - **基数的加法、乘法和指数运算**: 类似于自然数的加法、乘法和指数运算，基数之间也可以进行这些运算。 #### 六、序数与超穷归纳法 **5.1 良序集** - **定义**: 一个集合\(A\)称为良序集，如果在其上定义了一个全序关系，且\(A\)的每一个非空子集都有最小元素。 - **最小元**: 在良序集中，任何非空子集都有唯一的最小元素。 **5.2 良序集基** - **序数**: 序数是良序集的等势类，用来表示集合中元素的排列顺序。 **5.3 超穷归纳法** - **定义**: 超穷归纳法是一种数学归纳法的推广形式，用于处理无限集合中的元素。 - **应用**: 超穷归纳法通常用于证明有关序数的命题，特别是当涉及到无限过程时。 - **与Peano公理的关系**: 超穷归纳法与自然数的数学归纳法（Peano公理的一部分）有密切的联系，但超穷归纳法涉及的是更广泛的集合，包括无限集合。 朴素集合论通过对这些基本概念和性质的介绍，为读者提供了理解和应用集合论工具的基础。这本书不仅适合数学专业的学生学习，也适合对集合论感兴趣的读者深入探索这一领域。