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可验证秘密分享及其应用

张福泰

，赵福祥

，王育民

（

南京师范大学数学与计算机科学学院，江苏南京，

"!$$%&

；

西安电子科技大学

’()

国家重点实验室，陕西西安，

&!$$&!

）

摘要：可验证秘密分享（

*((

）是设计安全的密码协议的一个基本工具，自从其概念于

!%+,

年被提出后，受到

了密码学和信息安全界的普遍关注，到现在为止已经取得了大量的研究成果

本文全面总结和评述了该领域已经取得

的重要成果，并探讨了该领域研究的发展趋势，指出了几个值得重视的研究方向

关键词：秘密分享；可验证秘密分享（

*((

）；多方安全计算；门限密码学；电子商务

中图分类号：

.)%!+#/

文献标识码：

文章编号：

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（

"$$"

）

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340)5 67289:

，

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，

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，

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，

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，

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）

2’1+#&*+

：

*BC:D:9EFB GBHCB8 GI9C:=>

（

*(( DJC GIJC8

）

:G 9 D7=K9AB=89F 8JJF DJC 8IB KBG:>= JD GBH7CB HCLM8J>C9MI:H MCJ8JHJFG- ’8G

=J8:J= N9G MCJMJGBK := !%+,- 6CJA 8IB= J=

，

:8 I9G EBB= KC9N:=> 8IB 988B=8:J=G JD A9=L CBGB9CHIBCG := 8IB D:BFKG JD HCLM8J>C9MIL 9=K :=2

DJCA98:J= GBH7C:8L

，

9=K 9 >CB98 KB9F JD 9HI:BOBAB=8 I9G EBB= A9KB := 8IB D:BFK JD *(( 9=K :8G 9MMF:H98:J=G- ’= 8I:G M9MBC

，

NB 9=9FLPB

9=K G7COBL := KB89:F 8IB A9:= CBG7F8G 9O9:F9EFB := F:8BC987CB := 8IB D:BFK- ?B 9FGJ 9=9FLPB 8IB KBOBFJMAB=8 8CB=K JD 8IB CBGB9CHIBG := 8IB

D:BFK 9=K MJ:=8 J78 GJAB CBGB9CHI K:CBH8:J=G 8I98 KBGBCOB 89Q:=> :=8J 9HHJ7=8 -

5"6 74#/1

：

GBHCB8 GI9C:=>

；

OBC:D:9EFB GBHCB8 GI9C:=>

；

GBH7CB A7F8:M9C8L HJAM7898:J=

；

8ICBGIJFK HCLM8J>C9MIL

；

BFBH8CJ=:H HJA2

ABCHB

引言

秘密分享是信息安全和数据保密中的重要手段，它在重

要信息和秘密数据的安全保存、传输及合法利用中起着非常

关键的作用

秘密分享的概念最早是由

(I9A:C

［

］

和

RF9QFBL

［

］

提出的

秘密分享由两个算法———秘密份额的分配算法和秘

密的恢复算法构成

在执行秘密份额的分配算法时，分发者

（

SB9FBC

）将秘密

分割成若干个份额（

GI9CB

，或小块

M:BHB

，或影

子

GI9KJN

）在一组参与者

C T

｛

，

，…，

｝中进行分配，使

得每一个参与者都得到关于该秘密的一个秘密份额；秘密的

恢复算法保证只有

的一些特定的子集（称为合格子

集）

［

1 U ,

］

才能有效地恢复

，而

的其它子集不能有效地恢复

秘密

，甚至得不到关于

的任何有用信息

通常的秘密分享方案，包括动态秘密分享方案在内，在安

全性方面，都附加了秘密分发者和分享者是诚实的假设

然

而，这样的假设在现实生活中往往是不切实际的

- VIJC

等人于

!%+,

年提出了可验证秘密分享（

*BC:D:9EFB (BHCB8 (I9C:=>

，简记

为

*((

）的概念

［

］

，用以解决分发者欺骗的问题

可验证秘密

分享是在秘密分享的基础上增加了一个验证算法而形成的

在已经提出的诸多

*((

方案中，也提供了防止分享者欺骗的

功能

［

& U %

］

由于可防止分享者欺骗的可验证秘密分享方案有

良好的安全性质，它在诸如多方安全计算

［

% U !"

］

等方面有着广

泛的应用

自从可验证秘密分享的概念提出以来，不少学者对

其概念的定义进行了研究

除了其创始人的工作外，主要的还

有文献［

］和［

］

在文献［

］中，

5B==9CJ

和

X:H9F:

对文［

］中给出的

*((

的

定义进行了加强，给

*((

增加了归约性性质（

YBK7H:E:F:8L

），并

提出了第一个满足这样的定义的

*((

协议

在其定义中，他们

是把

*((

作为安全计算来对待的

在文献［

］中，

5B==9CJ

给出了

*((

的一个新的定义

其

新意在于给

*((

增加了安全协议的组合性质（

HJAMJG:8:J=

MCJMBC8L

），即要求安全的

*((

协议在被用作大的协议中的子协

议时仍然可被证明是安全的

这一性质是以前的定义所没有

要求的

这一改进使得满足新的定义的安全的

*((

协议可以

被放心的应用于各种大的协议中而不必担心其安全性会降

低

到现在，可验证秘密分享领域的研究已经取得了不少成

果

［

& Z &1

］

，下面将对这些成果做较为细致的总结与评述

期望

对相关的科研人员能够提供一点帮助

收稿日期：

"$$!2$&2$"

；修回日期：

"$$!2!"2!%

基金项目：国家自然科学基金（

)J#W$$&1$,"

）；教育部博士点基金（

)J#"$$$$&$!$!

）

第

期

"$$"

年

月

电子学报

0V.0 [\[V.Y;)’V0 (’)’V0

*JF- 1$ )J-!$

;H8- "$$"

万方数据

几个主要的

"##

方案

!$ %

交互式的

"##

方案

!""

方案从其验证算法是否需要参与者之间或参与者与

分发者之间进行交互可分为两类，即交互式的和非交互式的

早期的

!""

方案都是交互式的

［

，

］

，因而其效率都不够理

想

文献［

］以

比特的秘密为例给出了一个交互式的

&’’

协

议

该协议是以大整数分解的困难性和不经意传输为基础的

()*+,-./0

，

1./2*.

和

3.4+-,5)6

在文献［

］中利用比特承诺和零

知识证明技术提出了如下的一个

&’’

协议：在分发阶段，对秘

密

（有限域），分发者

按照

’027.,

秘密分享方案中的

方法计算给各参与者的份额

，

，…，

’

接着计算并向全体

参与者广播对

，

，…，

’

的承诺

(

，

(

，…，

(

’

之后，

以

零知识方式向所有参与者证明这些承诺包含了对应于某一秘

密的的正确的份额

如果他的证明被参与者接受，他再把

)

及打开

(

)

的信息秘密地发给参与者

)

，

) 9 #

，

，…，

’

；在恢复

阶段，每一

)

广播他的秘密份额

)

及打开

(

)

的信息，利用

（门限值）个正确的份额（承诺可以被成功打开的份额），就可

用拉格郎日多项式插值法恢复出秘密

$ #

这一协议可抵抗

+ :

# ;

’ , 8

个恶意的参与者，而且恶意参与者的不端行为只能是

在恢复阶段拒绝参与，但他们无法阻止诚实的参与者恢复秘

密

该协议具有很好的安全性和可靠性，可应用于交互式的多

方安全协议中

!$ !

非交互式的

"##

方案

<-*+726

于

#"=>

年首先提出了不需可信机构的非交互式

（

，

’

）门限

&’’

协议

［

］

（以后简称为

<-*+726?&’’

）

该协议是

基于

’027.,

的门限体制和计算离散对数的困难性假设的

由

于其效率较高，在门限密码学

［

］

、分布式密钥生成

［

］

，多方

安全计算

［

，

］

等诸多方面得到了广泛的应用

该协议能够抵

抗包括分发者在内的（

’ : #

）

, 8

个恶意参与者的合谋攻击

在文献［

］中，

@-+-,5-6

首先给出了一个具有同态性质的

安全的承诺方案，之后基于拉格郎日多项式插值法，提出了第

一个信息论安全（无条件安全）的非交互式可验证秘密分享方

案（以后简称为

@-+-,5-6?&’’

）

这一方案的信息速率为

# , 8

，与

文［

］中的方案一样具有较高的效率，同时在安全性方面具有

下述三条重要性质：

（

）如果分发者在协议中始终是诚实的，那么所有诚实的

参与者持有的份额能够以拉格郎日多项式插值法确定出惟一

的一个

+ : #

次多项式（这里的

是门限值）

特别地，这些份

额中的任何

个足以有效地恢复秘密

（

）方案中提供了在秘密恢复阶段用于检验每一份额的

正确性的信息，因而，在即使有恶意参与者存在的情况下，份

额集合的任何包含

个正确份额的子集都可用来正确地恢复

出秘密

（

）至多能与

+ : #

个分享者合谋的攻击者，在协议中所

得到的信息是独立于被分享的秘密的，因此所分享的秘密是

信息论安全的（无条件安全的）

(-662,)

等人在文献［

］中，基于一个高效的承诺方案提

出了一个结构非常简单的

&’’

方案

这一方案避免了以前的

&’’

方案中通常用来保证参与者正确行为的零知识证明过

程，因而与以前的

&’’

方案相比，大大地提高了通信和计算效

率

该方案的运行过程大致如下：

分发者选两个随机的

+ : #

次多项式

（

），

（

），并使

（

）的常数项为要分享的秘密

多项式

（

）用于生成对分享

者的份额进行承诺的随机串

每一分享者

将收到他的份额

（

）及与之对应的随机值

（

）

分享者通过广播

(

（

），

（

）），

0 9 #

，

，…，

’

，对所有分享者的份额做出公开的承诺

其中的

(

（

，

）是一个承诺函数，如单向

0250

函数

"123#

（

，

）

承诺函数可用来对所有分享者的秘密份额的正确性进行

检验

在恢复秘密时，根据拉格郎日插值法，任何

个正确的

秘密份额可惟一确定出秘密

上面这三个方案是到目前为止最有实用价值的

&’’

方

案，它们都具有很好的安全性

但从历史上看，文［

］中的方案

是第一个不需要可信机构的非交互式

&’’

方案，文［

］中的方

案是第一个信息论安全的非交互式

&’’

方案，而且它们都要

比文［

］中的方案要早，因而它们是目前应用得最多的

&’’

方案

由于其效率很高，我们相信文献［

］中的方案将会受到

越来越多的重视

近期对门限

&’’

的研究，主要是设计具有特殊性质的

&’’

方案

［

!8 B !>

，

］

# 1C

等人

［

］

中提出了防失败的

&’’

方案；

@.-D,EFG

在文［

］中讨论了非线性的可验证秘密分享；

H0264

在文［

］中提出了免疫的

&’’

方案；张福泰

［

］

讨论了在

&’’

中防止主动攻击的问题；

JF2G)

等人

［

］

提出了可变的

&’’

方

案

!$ &

可公开验证的秘密分享方案

第一个

&’’

方案

［

］

的验证算法具有一个良好的性质，即

任何人（不仅仅是分享者）都可以检验秘密份额分发过程的正

确性

但这一性质在后来的高效

&’’

方案中不复存在了，在这

些高效的

&’’

方案

［

，

］

中，只有分享者本人才可以验证他自

己收到的秘密份额的正确性

这使

&’’

的应用在一定程度上

受到了限制

到

#""!

年，

’K2+*-,

注意到了这一性质的重要性

在文献［

］中，

’K2+*-,

把这一性质称为可公开验证性（

DCL*./

M-,.N.2L.*.KF

），并把具有这一性质的

&’’

方案称为是可公开验

证的秘密分享（

@CL*./*F &-,.N.2L*- ’-/,-K ’02,.64

，简称

@&’’

）方

案

他在这一文献中给出了

@&’’

的一个非形式化的模型，同

时还给出了两个

@&’’

协议，其中的一个基于对离散对数的可

验证加密，另一个基于对模复合数的

次根的可验证加密

由

于通信和计算代价都很大，这两个协议的效率都很低

# <CO.52G.

和

PG27)K)

［

］

于

#""=

年提出了一个效率相对较高的

@&’’

方

案

其方案的构造利用了几个高效的承诺方案，而安全性是依

赖于改进的

Q’J

假设的

# ’/0)-672G-,5

［

］

对

’K2+*-,

和

<CO.52G.

等人的

@&’’

模型做了简单的改进

在改进的模型中，要求每

一分享者在恢复算法中不仅提供其秘密份额，而且要提供其

秘密份额正确性的证明

基于改进的模型，

’/0)-672G-,5

［

］

提

出了一个构造简捷、安全性和效率比以前的

@&’’

方案更高的

一个新的

@&’’

方案

新方案的安全性所依赖的困难问题是离

散对数问题和决策

S.NN.-?T-**726

问题，其困难性假设是所有

基于离散对数的密码系统的共同基础，因而其要求是最低的

电子学报

8$$8

年

万方数据

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