FIR数字滤波器在数字信号处理领域中扮演着至关重要的角色，特别是在FPGA（现场可编程门阵列）上实现时，分布式算法提供了一种高效并行处理的方法。FIR滤波器因其有限长脉冲响应特性而得名，与无限长脉冲响应（IIR）滤波器相比，其优点在于结构简单且易于实现线性相位。
1. 传统乘累加结构（MAC，Multiplying Accumulator）
FIR滤波器的运算过程涉及输入信号与单位脉冲响应的卷积，这通常需要大量的乘法和累加操作。当滤波器阶数（L）较高时，计算每个输出点的时间延迟会显著增加。例如，每次采样需要L次乘法和L-1次加法，随着L的增大，计算复杂度呈线性增长。
2. 位宽分配与溢出处理
在乘累加运算中，考虑采样信号的位宽N，若两个N位有符号数相乘，结果需2N-1位来表示。为了防止溢出，累加器需要额外的K位，其长度M为：
- 对于无符号数：M = 2N + K = 2N + log2 L
- 对于有符号数：M = 2N + K = 2N + log2 L - 1
3. 分布式算法原理
分布式算法利用FPGA的查找表（LUT）结构，将乘法和累加操作分解为一系列并行的逻辑操作，显著提高了处理速度。它将乘法转换为查表加法，即输入变量的二进制位与常数的“与”操作，然后通过地址向量寻址一个称为DALUT（分布式算法查找表）的ROM。每个输入变量的位组合对应表中的一个特定项，这个项经过指数因子加权后再进行加法。
4. FPGA实现中的查找表构造
DALUT的构造涉及将所有可能的输入变量位组合及其对应的乘积项存储起来。这样，通过输入变量的二进制位组合直接寻址DALUT，实现快速的乘法和累加运算。
5. 采用分布式算法实现FIR滤波器
以一个简单的三系数FIR滤波器为例，FPGA设计包括构建DALUT（以ROM形式存在）以及设置状态机来控制数据加载、延迟、移位和乘累加运算。状态机的各个状态如s0、s1、s2分别负责数据加载、查找表操作和数据移位。
在实际应用中，FPGA实现的分布式算法FIR滤波器还需要解决几个关键问题，例如如何高效地实现状态机，以及如何优化数据路径和存储资源的使用，以减少硬件开销并提高系统性能。
总结来说，FIR数字滤波器分布式算法是一种在FPGA上高效实现的关键技术，它通过分解乘法和累加运算，利用查找表并行处理，降低了延迟并提升了处理能力，特别适用于实时和高性能的数字信号处理应用。在设计过程中，合理的位宽分配、溢出处理和状态机设计是优化FPGA实现的关键。
