考研高等数学公式集锦

### 考研高等数学公式集锦 #### 导数公式 导数是微积分中的一个核心概念，用于描述函数在某一点的变化率。对于不同的基本函数，它们的导数形式各异，掌握这些导数公式对于理解和解决微积分问题至关重要。 - **基本导数公式**： - \( (c)' = 0 \) （常数的导数） - \( (x^n)' = nx^{n-1} \) （幂函数的导数） - \( (e^x)' = e^x \) （自然指数函数的导数） - \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \) （自然对数函数的导数） - \( (\sin x)' = \cos x \) （正弦函数的导数） - \( (\cos x)' = -\sin x \) （余弦函数的导数） #### 基本积分表 积分是导数的逆运算，它表示一个函数的原函数。基本积分表列举了一些常见的函数及其对应的不定积分表达式，是解决复杂积分问题的基础。 - **基本积分公式**： - \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) （幂函数的积分） - \( \int e^x dx = e^x + C \) （自然指数函数的积分） - \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \) （自然对数函数的积分） - \( \int \sin x dx = -\cos x + C \) （正弦函数的积分） - \( \int \cos x dx = \sin x + C \) （余弦函数的积分） - \( \int \sec^2 x dx = \tan x + C \) （正割平方函数的积分） #### 三角函数的有理式积分 三角函数的有理式积分通常涉及复杂的变换技巧，如替换法、部分分式分解法等。熟悉这类积分有助于提高解题效率。 - **三角函数有理式积分**： - 通过三角恒等变换简化积分表达式。 - 使用适当的变量替换简化积分。 #### 重要极限 在高等数学中，了解几个重要的极限是极其必要的，它们在证明某些结论时非常有用。 - **两个重要极限**： - \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) - \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \) #### 三角函数公式 三角函数的性质及其相互之间的关系是学习三角学的基础。 - **诱导公式**： - \( \sin(-\alpha) = -\sin\alpha \) - \( \cos(\alpha) = \cos\alpha \) - \( \tan(-\alpha) = -\tan\alpha \) - \( \cot(-\alpha) = -\cot\alpha \) - \( \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha \) - \( \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha \) - \( \tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha \) - \( \cot(90^\circ - \alpha) = \tan\alpha \) - \( \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha \) - \( \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \) - \( \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha \) - \( \cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha \) - \( \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha \) - \( \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha \) - \( \tan(180^\circ + \alpha) = \tan\alpha \) - \( \cot(180^\circ + \alpha) = \cot\alpha \) - \( \sin(270^\circ - \alpha) = -\cos\alpha \) - \( \cos(270^\circ - \alpha) = -\sin\alpha \) - \( \tan(270^\circ - \alpha) = -\cot\alpha \) - \( \cot(270^\circ - \alpha) = -\tan\alpha \) - \( \sin(270^\circ + \alpha) = -\cos\alpha \) - \( \cos(270^\circ + \alpha) = \sin\alpha \) - \( \tan(270^\circ + \alpha) = \cot\alpha \) - \( \cot(270^\circ + \alpha) = \tan\alpha \) - \( \sin(360^\circ - \alpha) = -\sin\alpha \) - \( \cos(360^\circ - \alpha) = \cos\alpha \) - \( \tan(360^\circ - \alpha) = -\tan\alpha \) - \( \cot(360^\circ - \alpha) = -\cot\alpha \) - \( \sin(360^\circ + \alpha) = \sin\alpha \) - \( \cos(360^\circ + \alpha) = \cos\alpha \) - \( \tan(360^\circ + \alpha) = \tan\alpha \) - \( \cot(360^\circ + \alpha) = \cot\alpha \) - **和差角公式**： - \( \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \) - \( \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \) - \( \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} \) - **和差化积公式**： - \( \sin\alpha \pm \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha \pm \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha \mp \beta}{2}\right) \) - \( \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \) - \( \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \) - **倍角公式**： - \( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \) - \( \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha \) - \( \tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} \) - **半角公式**： - \( \sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} \) - \( \cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} \) - \( \tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} \) #### 多元函数微分法及应用 当研究多个变量之间的关系时，需要使用多元函数的微分法。这部分内容包括偏导数、梯度、方向导数等概念。 - **偏导数**： - \( \frac{\partial f}{\partial x} \) 表示函数 \( f(x, y) \) 关于变量 \( x \) 的偏导数。 - \( \frac{\partial f}{\partial y} \) 表示函数 \( f(x, y) \) 关于变量 \( y \) 的偏导数。 - **梯度**： - 对于函数 \( f(x, y) \)，其梯度定义为 \( \nabla f = \left<\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right> \)。 - **方向导数**： - 方向导数是在某个特定方向上函数的变化率。 - **多元函数的极值及其求法**： - 极值可以通过寻找偏导数为零的点来确定。 - Hessian 矩阵可以用来判断极值点的类型。 #### 微分方程的相关概念 微分方程是描述物理系统动态行为的重要工具，掌握微分方程的基本理论和解法对于解决实际问题至关重要。 - **一阶线性微分方程**： - 形式为 \( y' + p(x)y = q(x) \) 的方程，可通过积分因子法求解。 - **全微分方程**： - 如果存在一个函数 \( u(x, y) \)，使得 \( du = Pdx + Qdy \)，则 \( Pdx + Qdy = 0 \) 称为全微分方程。 - **二阶微分方程**： - 形式为 \( y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) \) 的方程，其中 \( y'' \) 表示 \( y \) 的二阶导数。 - **二阶常系数齐次线性微分方程**： - 形式为 \( y'' + py' + qy = 0 \)，其中 \( p, q \) 是常数。 - 特征方程 \( r^2 + pr + q = 0 \) 的根决定了方程的解的形式。 - 如果特征方程有两个不相等实根 \( r_1, r_2 \)，则通解为 \( y = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x} \)。 - 如果特征方程有两个相等实根 \( r \)，则通解为 \( y = (c_1 + c_2x)e^{rx} \)。 - 如果特征方程有一对共轭复根 \( \alpha \pm i\beta \)，则通解为 \( y = e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x + c_2\sin\beta x) \)。 以上内容覆盖了高等数学中的一些基础但重要的知识点，对于准备考研的学生来说，熟练掌握这些内容是十分必要的。