17两条直线的平行与垂直(1).doc

【知识点详解】 在平面直角坐标系中，两条直线的平行与垂直是基本的几何性质。以下是关于这个主题的关键知识点： 1. **直线平行的条件**： - 直线的平行性首先建立在斜率的基础上。对于两条不垂直的直线1l 和 2l，如果它们的斜率相等，即它们的方程可以表示为 \( y = kx + b \) 形式，其中 \( k \) 相同，那么这两条直线就平行。 - 如果两条直线的斜率不存在，意味着它们与 x 轴垂直，因此它们的方程可以写为 \( x = c \) 形式，此时它们也会相互平行。 2. **直线垂直的条件**： - 如果两条直线的斜率乘积等于 -1，那么这两条直线就垂直。换句话说，如果一条直线的斜率为 \( k \)，则与其垂直的直线的斜率为 \(-\frac{1}{k}\)。 - 在标准坐标系中，如果两条直线的斜率都不存在，即它们都平行于 x 轴，那么它们并不垂直。 3. **例题解析**： - 例1中，通过比较两条直线的斜率，可以发现它们的斜率都是 \(-\frac{1}{2}\)，因此它们平行。 - 例2中，四边形ABCD的对边不是平行的，所以它不是平行四边形，而是梯形，因为梯形的两对非邻边长度不同。 - 例3中，(1) 直线的位置关系取决于它们的斜率。对于两条直线 \( y = kx + b \)，如果斜率相等，它们平行；如果 \( k \) 不同，它们相交；如果 \( k \) 不存在，它们可能平行（如果它们都是垂直线）或重合。 - 例3的(2) 中，平行的条件是斜率相等，即 \( a + 1 = 2a \)，解得 \( a = 1 \)。 - 例4中，要找的直线与 \( 250xy+- = \) 平行，其斜率为 \(\frac{-2}{5}\)，然后代入点(2, 3)得到直线方程。 - 例5中的平行四边形，可以通过找到与已知边平行的另一对边来求解，使用点M(3,3)和对角线的方向向量。 - 例6中，直线l与 \( 2510xy+- = \) 平行，所以斜率也是 \(\frac{-1}{2}\)，根据面积公式，可以求出l的方程。 4. **反思**： - 在处理直线平行和垂直问题时，需要特别注意斜率的存在性和相等性，以及特殊情况，如垂直线的斜率为无穷大。 5. **课外作业**： - 1. 使用两直线平行的条件，得到 \( a \cdot (a-1) - 2 = 0 \)，解得 \( a = 2 \) 或 \( a = -1 \)，但 \( a = -1 \) 时两条直线重合，所以 \( a = 2 \)。 - 2. 设直线方程为 \( y = \frac{4}{3}x + b \)，根据截距之和为 37，有 \( b = 37 - \frac{4}{3} \times 0 \)，得到 \( b = 37 \)。 - 3. 当直线平行于 x 轴时，斜率为0，即 \( m = 0 \)，又因为与 x 轴相距5，所以 \( n = 5 \) 或 \( n = -5 \)。 - 4. 设直线l的方程为 \( y - 2 = \frac{3}{4}(x - 1) \)。 - 5. 另一对边的方程可以通过平移已知边来求得，或者利用对角线的中点坐标和对角线斜率来确定。 - 6. 设直线l的方程为 \( y = -\frac{1}{2}x + b \)，三角形面积为 \(\frac{1}{2}|b| \cdot \frac{1}{2} \)，解得 \( b = \pm 2\sqrt{10} \)。 这些知识点涵盖了直线平行和垂直的基本概念、判断方法以及解题策略，适用于初等平面几何和初等代数的学习。