整数的特殊划分

★问题描述： 给定一个正整数N，将其分解为若干个整数的和，且这些整数都是2的 k 次方(k>=0)， 请问共有多少种分解方法？ 例如，对于整数5，有 5=1+1+1+1+1； 5=1+1+1+2； 5=1+2+2； 5=1+4 共4种分解方法。 对于整数8，有 8=1+1+1+1+1+1+1+1； 8=1+1+1+1+1+1+2； 8=1+1+1+1+2+2； 8=1+1+2+2+2; 8=2+2+2+2; 8=1+1+1+1+4; 8=1+1+2+4; 8=2+2+4; 8=4+4; 8=8 共10种分解方法。 输入格式 每组输入数据仅包含一个整数 N (1 <= N <= 10000)。 注意:这里原来题目是1 <= N <= 100000,现在改为:1 <= N <= 10000 输出格式 输出一个整数M。M为分解方法数，由于M可能很大，请输出 M00000000。 输入样例 5 输出样例 4 ### 整数的特殊划分知识点解析 #### 一、问题背景与定义 本问题的核心在于对给定的一个正整数\(N\)进行一种特殊的划分。具体来说，将这个正整数\(N\)拆分为若干个整数之和，其中每个整数都是2的幂次方形式（即形如\(2^k\)的整数，其中\(k \geq 0\)）。目标是求出所有可能的划分方法的数量。 #### 二、示例分析 为了更好地理解这个问题，我们可以通过两个具体的例子来进行分析： 1. **例子1**: 当\(N = 5\)时，根据题目要求，我们可以得到以下几种不同的划分方式： - \(5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1\) - \(5 = 1 + 1 + 1 + 2\) - \(5 = 1 + 2 + 2\) - \(5 = 1 + 4\) 因此，当\(N = 5\)时，共有4种不同的划分方式。 2. **例子2**: 当\(N = 8\)时，同样按照题目要求，可以得到以下几种不同的划分方式： - \(8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1\) - \(8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2\) - \(8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2\) - \(8 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2\) - \(8 = 2 + 2 + 2 + 2\) - \(8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 4\) - \(8 = 1 + 1 + 2 + 4\) - \(8 = 2 + 2 + 4\) - \(8 = 4 + 4\) - \(8 = 8\) 所以，当\(N = 8\)时，共有10种不同的划分方式。 #### 三、算法设计与实现 接下来，我们将深入探讨如何通过程序实现上述问题的解决方案。 **1. 数据结构准备** 我们需要定义几个必要的数据结构来存储中间结果，以便于后续计算： - `long t`: 用于记录当前的划分数量； - `long st`: 定义一个大数（比如1,000,000,000），用于防止整数溢出； - `long r[18][100000]` 和 `long b[18][100000]`: 二维数组，分别用来记录递归过程中的中间结果以及备忘录表； - `long num[18]`: 保存所有可能的2的幂次方值，如`{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...}`； - `void ok(long n, int mm)`: 主要的递归函数，用于计算划分的方法数。 **2. 递归函数实现** 递归函数`ok(long n, int mm)`的核心思想是通过不断减去小于等于当前数值的最大2的幂次方，来逐步逼近目标数值。同时利用备忘录机制避免重复计算。 **3. 主函数流程** 在主函数中，主要执行以下步骤： - 输入一个正整数\(N\)； - 计算最大的\(2^k\)，使得\(2^k \leq N\)； - 调用`ok(n, max)`函数进行计算； - 输出结果。 #### 四、代码解析 根据给定的部分内容，我们可以看到程序主要由以下几个部分组成： 1. **变量声明与初始化**：包括定义上述提到的各种数据结构。 2. **递归函数`ok()`**：该函数是解决问题的核心，通过递归的方式计算所有可能的划分方法数。 3. **辅助函数`fun()`**：该函数用于辅助计算最终的结果。 4. **主函数`main()`**：读取输入并调用相应的函数完成计算与输出。 以上就是关于“整数的特殊划分”这一问题的详细解析与实现方案。通过这种方式，我们可以有效地解决这类数学问题，并进一步加深对递归算法的理解与应用。