### David Silver 强化学习课程：无模型预测
#### 一、引言
在David Silver教授的强化学习课程中，第四讲重点介绍了无模型预测（Model-Free Prediction）。本讲主要探讨了如何在未知马尔可夫决策过程(MDP)的情况下估计价值函数。这涉及到两种主要方法：蒙特卡罗学习（Monte-Carlo Learning）和时序差分学习（Temporal-Difference Learning）。接下来将详细介绍这两种方法以及它们的应用场景。
#### 二、蒙特卡罗学习
蒙特卡罗方法是一种基于样本的经验方法，它直接从完整的游戏或任务序列中学习，无需了解环境的动态特性。蒙特卡罗方法的核心思想是通过计算每个状态下的平均回报来估算价值函数。
##### 2.1 蒙特卡罗强化学习
蒙特卡罗方法在强化学习中的应用通常分为两部分：策略评估和策略改进。本节主要关注策略评估。
- **蒙特卡罗策略评估** 的目标是从经验中学习一个策略下的价值函数。这里的关键概念包括：
- **返回值（Return）**: 给定时间步 \( t \)，从当前时间步到终止状态的累积奖励。
- **价值函数（Value Function）**: 在给定策略下，从某个状态出发的期望返回值。
- **经验平均回报（Empirical Mean Return）**: 使用样本平均值来近似期望回报。
##### 2.2 第一次访问蒙特卡罗策略评估
第一次访问蒙特卡罗策略评估是指只考虑在单个游戏过程中首次访问某个状态的情况。对于每个状态，我们记录它被首次访问的时间步 \( t \)，并计算从该时间步到游戏结束的总回报 \( G_t \)。然后，我们更新该状态的平均回报：
- 初始化计数器 \( N(s) = 0 \) 和总回报 \( S(s) = 0 \)。
- 当状态 \( s \) 首次被访问时，增加计数器 \( N(s) \) 并累加总回报 \( S(s) \)。
- 价值函数估计为 \( V(s) = S(s) / N(s) \)。
随着样本数量的增加，\( V(s) \) 会趋近于真实的期望回报 \( v_\pi(s) \)。
##### 2.3 每次访问蒙特卡罗策略评估
每次访问蒙特卡罗策略评估则考虑在单个游戏中所有访问某状态的情况。与第一次访问方法类似，但每次状态被访问时都会更新计数器和总回报。这种方法也保证了随着样本数量的增加，估计的值将收敛到真实值。
#### 三、时序差分学习
时序差分学习是另一种重要的无模型学习方法，其核心思想是利用当前估计的值函数来预测未来的值，并据此调整当前估计。时序差分方法不需要完整的序列数据，而是通过逐步逼近的方式进行学习。
##### 3.1 时序差分学习基础
时序差分学习的基础形式是单步时序差分（One-step TD）算法，它使用下一个时间步的状态值来更新当前状态的价值估计。例如，对于状态 \( s \) 和下一个状态 \( s' \)，单步时序差分更新规则为：
\[ V(s) \leftarrow V(s) + \alpha [r + \gamma V(s') - V(s)] \]
其中 \( r \) 是从 \( s \) 到 \( s' \) 的即时奖励，\( \gamma \) 是折扣因子，\( \alpha \) 是学习率。
##### 3.2 TD(λ) 方法
为了平衡蒙特卡罗方法和基本时序差分方法的优点，引入了TD(λ) 方法。该方法允许算法通过一个参数 \( \lambda \) 来控制学习过程中考虑未来多少步的信息。当 \( \lambda = 0 \) 时，算法退化为基本的时序差分学习；当 \( \lambda = 1 \) 时，算法退化为蒙特卡罗方法。因此，TD(λ) 提供了一种灵活的方法来权衡短期和长期预测之间的关系。
#### 四、案例分析：二十一点游戏
作为应用案例，David Silver 教授在第四讲中讨论了一个经典的强化学习问题——二十一点游戏（Blackjack）。该游戏具有200个状态，状态由以下三个特征组成：
- 当前手牌总和（12-21）
- 庄家显示的牌（A-10）
- 是否持有可使用的A牌（是/否）
动作包括 “持牌”（stick） 和 “再拿一张牌”（twist）。玩家的目标是最大化最终的奖励，而奖励取决于最终的手牌总和和庄家的手牌情况。
通过蒙特卡罗方法，可以对二十一点游戏中的各种策略进行评估，进而找到最优策略。例如，可以利用第一次访问蒙特卡罗策略评估来估计不同状态下采取特定动作后的平均回报，从而指导后续的动作选择。
### 结语
无模型预测方法如蒙特卡罗学习和时序差分学习是强化学习中的重要组成部分，它们能够在不依赖环境模型的情况下有效地学习价值函数。这些方法不仅理论基础扎实，而且在实践中也表现出了很好的性能。通过深入理解这些方法的工作原理及其应用场景，我们可以更好地设计出适用于各种复杂环境的智能系统。
