根据给定文件中的标题“离散数学练习题目和答案”以及描述内容，本文将围绕离散数学中的基础知识展开，特别是针对题目中所涉及的核心概念进行深入解析，包括但不限于数理逻辑、命题逻辑、谓词逻辑及集合论等相关知识点。
### 数理逻辑与命题逻辑
#### 命题的概念
一个命题是指可以明确判断真假的陈述句。例如，“北京是中国的首都”是一个命题，并且其真值为真（T）。而像“你喜欢唱歌吗？”这样的疑问句或者命令句（如“前进！”）并不构成命题。
#### 永真式与永假式
- **永真式**：无论给定什么样的解释，其值总是真的公式。
- **永假式**：无论给定什么样的解释，其值总是假的公式。
#### 蕴含与等价
- **蕴含**：如果公式A和B中，A为真时B也必然为真，则称“A蕴含B”，记作A→B。
- **等价**：如果两个公式在所有可能的情况下具有相同的真值，则称这两个公式是等价的，记作A↔B。
### 关于题目的解析
#### 题目1
- **解析**：本题考察的是对蕴含关系的理解。公式（1）表示如果Q为真，则P→Q为真；公式（4）表示如果P为真且(P→Q)为真，则非P为真。其中（1）和（4）是正确的。
#### 题目2
- **解析**：此题考查永真式的识别。（2）P→(Q→Q)始终为真，因为Q→Q恒为真；（3）(P∧Q)→P恒为真，因为如果P∧Q为真，则P必为真；（4）P→(P∧Q)当P为真时Q也为真时才为假，其他情况均为真，故也是永真式。
#### 题目3
- **解析**：这道题考查了对蕴含关系的理解。例如，（2）P∧Q→P为真，因为如果P∧Q为真，则P必然为真；（4）P→(P→Q)为真，因为如果P为真，则P→Q至少为真；（5）￢(P→Q)→P为真，因为如果P→Q为假，则P必须为假才能使得整个表达式为真。
#### 题目4
- **解析**：本题考查自由变元与约束变元的概念。自由变元是指在其出现的范围内不受任何量词作用的变量，约束变元则是指受量词作用的变量。在此题中，x和y在第一个括号内为约束变元，而在整个公式中，它们同时也作为自由变元出现。
#### 题目5
- **解析**：本题考察命题的定义及其真值。例如，“北京是中华人民共和国的首都”是一个事实性陈述，因此是命题并且其真值为真；而像“你喜欢唱歌吗？”这类疑问句不构成命题。
#### 题目6
- **解析**：此题考查命题的否定。例如，“存在一些人是大学生”的否定是“所有人都不是大学生”；而“所有的人都是要死的”的否定则是“有些人不会死”。
#### 题目7
- **解析**：这道题要求我们将自然语言转换成形式化的逻辑表达式。例如，（1）“只有在生病时，我才不去学校”可以表示为￢P→￢Q，即如果我不生病，则我一定去学校。
#### 题目8
- **解析**：此题考查量词的含义及其在逻辑表达式中的应用。例如，（1）表达的是对于任何整数x，都存在一个整数y使得x+y=0，这显然是真的；（2）则表示存在一个整数y，对于所有整数x都有x+y=0，这是假的，因为不存在这样的y。
#### 题目9
- **解析**：本题要求判断给定命题的真值。例如，（4）表示对于任意的正整数x，存在一个正整数y使得y=2x，这是真的，因为对于任何正整数x，都可以找到一个正整数y=2x。
#### 题目10
- **解析**：本题考查在不同个体域中命题公式的真值。由于P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，因此当个体域为自然数时，命题(x(P(x)∨Q(x))为真，因为在自然数中，每一个数要么是奇数要么是偶数。
### 集合论基础
#### 基本概念
- **集合**：一组具有特定属性的对象的总称。
- **元素**：属于某个集合的个体称为该集合的元素。
- **子集**：如果集合A中的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。
- **真子集**：如果A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
#### 题目16
- **解析**：本题考查集合的子集和幂集的概念。例如，{a}和{{a}}都是集合A={a,{a}}的元素，因此{a}∈P(A)和{{a}}∈P(A)都是正确的。
#### 题目18
- **解析**：此题考查幂集的定义。若集合S的基数|S|=5，则S的幂集P(S)包含了所有可能的子集，其基数|P(S)|=2^5=32。
#### 题目19
- **解析**：本题要求判断集合间的关系。例如，集合P包含所有满足(x+1)<4的实数x，而Q包含所有满足5≤x≤16的实数x。显然，P⊆Q。
通过以上分析可以看出，离散数学涵盖了逻辑推理、集合论等多个方面，这些基础知识对于理解和解决实际问题至关重要。希望以上的解析能够帮助大家更好地掌握离散数学的相关知识点。
