基于改进的logistics的人口预测模型 数学建模报告

本文首先采用改进的 Logistic 模型,预测了山西中短期人口数;然后,综合考虑性别比，国家人口政策，迁入迁出比例等因素,比较合理地预测了中国短期内山西人口的变化情况。 我的实践报告 有内容创新 最后得分87分 数学建模 ### 基于改进的Logistic模型的人口预测方法 #### 概述 本文通过采用改进的Logistic模型，预测了山西省中短期的人口数量，并综合考虑了性别比、国家人口政策、迁入迁出比例等多种因素，以更加合理地预测中国短期内山西省人口的变化情况。该实践报告具有一定的内容创新性，最终获得了87分的成绩。 #### 关键词解释 - **Logistic模型**：这是一种用于描述种群增长的数学模型，特别适用于种群增长速度随种群密度增加而减慢的情况。 - **人口预测**：指通过历史数据和其他相关因素来推断未来某一地区的人口规模。 - **改进的Logistic模型**：在此文中指的是在传统的Logistic模型基础上加入了更多影响因素（如性别比、城乡人口结构等），使得模型更贴合实际情况。 #### 研究背景 随着我国人口政策的不断调整，从坚持独生子女政策到实施二孩政策，人口结构面临着一系列挑战，包括人口老龄化加剧、性别比例失衡等问题。在这样的背景下，研究山西省未来人口的发展变化对于指导当地经济社会发展具有重要意义。 #### 基本模型介绍 传统的Logistic模型的基本方程可以表示为： \[ \frac{dx}{dt} = r x (1 - \frac{x}{K}) \] 其中，\(x\) 表示人口数量，\(r\) 是自然增长率，\(K\) 是环境所能承载的最大人口数量（即人口容量）。在本文中，作者提出了一个改进版本的模型： \[ \frac{dx}{dt} = r x (1 - \frac{x}{K}) + \Delta P \] 这里引入了一个新的变量\(\Delta P\)，它表示的是除了自然增长率之外的其他因素对人口变化的影响，比如迁入迁出比例、性别比等。 #### 模型建立过程 1. **假设条件**：设定初始人口数量为\(x_0\)，在时刻\(t\)的人口数量为\(x(t)\)，增长率\(r(x)\)为人口\(x(t)\)的函数。 2. **模型构建**：假设\(r(x) = r - sx\)，其中\(s\)是负反馈系数，表示当人口数量接近环境承载力时，增长率会下降。由此可得最大人口容量\(K\)时的增长率为0，即\(r(K) = 0\)，从而解得\(s = \frac{r}{K}\)。 3. **方程求解**：将上述关系代入到基本模型方程中，得到改进后的Logistic模型方程。 4. **参数估计**：利用2000-2015年的数据，通过Matlab软件对模型进行拟合，得到了人口容量\(K = 2061\)万人，固有增长率\(r = 0.1591\)的数据。 #### 模型改进 考虑到实际人口增长受到多种因素的影响，如性别比、迁入迁出比例等，文中提出了一种改进后的Logistic模型： \[ \frac{dx}{dt} = r x (1 - \frac{x}{K}) + d(x - x_{\text{in}}) + \theta \] - \(d\) 表示迁入迁出率的影响程度，当\(d > 1\)时，迁出人口多于迁入人口；反之，则迁入人口多于迁出人口。 - \(\theta\) 表示当前人口政策和性别比例对生育率的影响。 #### 实际应用 1. **数据分析**：利用Excel表格统计得出模型的相对误差平均值\(R = 0.0408129353077\)，这表明模型具有较好的预测能力。 2. **预测结果**：通过模型预测，可以得到未来几年山西省的人口变化情况，这对于制定地方发展规划具有重要参考价值。 #### 结论 本文通过构建和改进Logistic模型，有效地预测了山西省中短期的人口变化趋势。该模型不仅考虑了人口自然增长的因素，还综合考量了迁入迁出比例、性别比等多种社会经济因素，从而提高了预测的准确性。这对于指导地方政府制定相应的人口政策和社会经济发展规划具有重要的意义。