**概率矩阵分解（Probabilistic Matrix Factorization, PMF）**
概率矩阵分解是协同过滤算法的一种，它在推荐系统中广泛应用。PMF的基本思想是将一个大的、稀疏的用户-物品评分矩阵R分解为两个低秩矩阵U和V的乘积，即R ≈ UV^T。这里的U代表用户矩阵，V代表物品矩阵，它们的每一列分别对应一个用户的隐向量和一个物品的隐向量。通过学习这两个矩阵，我们可以捕捉到用户和物品之间的潜在关联，并用于预测用户未评分的物品。
在MovieLens 100K数据集上实现PMF，首先需要对数据进行预处理，包括加载数据、处理缺失值（通常用平均评分填充）、以及将评分矩阵标准化。然后，我们可以利用随机梯度下降（SGD）来优化PMF模型的参数。在训练过程中，我们需要定义损失函数（通常是均方误差），并设置学习率、迭代次数等超参数。
在Python中，可以使用`numpy`或`scikit-learn`库进行矩阵运算，或者使用专门为推荐系统设计的库如`surprise`或`lightFM`。对于SGD优化，可以自定义实现，或者使用`scikit-learn`中的`SGDClassifier`或`SGDRegressor`，调整fit_intercept参数为False以适应矩阵分解的场景。
以下是一段简单的PMF模型训练的伪代码：
```python
import numpy as np
# 1. 加载数据，处理缺失值
ratings = load_ratings_matrix()
ratings_mean = ratings.mean()
ratings -= ratings_mean
# 2. 初始化用户和物品矩阵
n_users, n_items = ratings.shape
embedding_size = 50 # 隐向量维度
U = np.random.normal(size=(n_users, embedding_size))
V = np.random.normal(size=(n_items, embedding_size))
# 3. 定义损失函数和优化算法
def pmf_loss(U, V):
return np.linalg.norm(ratings - U @ V.T) ** 2
learning_rate = 0.01
max_iter = 1000
for _ in range(max_iter):
for u, i, r in zip(*np.where(ratings != 0)):
prediction = U[u] @ V[i]
gradient_U = (r - prediction) * V[i]
gradient_V = (r - prediction) * U[u]
U[u] -= learning_rate * gradient_U
V[i] -= learning_rate * gradient_V
# 4. 训练后的预测
predicted_ratings = U @ V.T + ratings_mean
```
在实际应用中，我们还需要考虑正则化（如L2正则化）来防止过拟合，并可能需要对学习率进行动态调整（如使用余弦退火）。此外，为了评估模型性能，可以使用交叉验证或在测试集上计算RMSE、MAE等指标。
概率矩阵分解是一种有效的推荐系统建模方法，尤其适用于处理大规模的稀疏数据。通过在MovieLens 100K这样的经典数据集上实践，我们可以深入理解PMF的工作原理，同时掌握如何在Python中实现这一算法。
