第六章线性空间是线性代数中的核心概念，它在高等数学的考研试题中占有重要地位。线性空间，也称为向量空间，是一组元素（通常称为向量）和两种运算（加法和标量乘法）的集合，满足特定的代数规则。在这一章的学习中，学生需要掌握以下关键知识点：
1. **定义与基本性质**：线性空间必须满足八条基本性质，如封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元等。理解这些性质有助于深入理解线性空间的结构。
2. **基与坐标**：基是一组线性无关的向量集合，可以表示线性空间中的所有向量。在给定的基下，每个向量都可以表示为基向量的线性组合，这就是坐标的概念。如题目中的填空题，求解向量在特定基下的坐标，需要解相关的线性方程组。
3. **过渡矩阵**：过渡矩阵是从一组基转换到另一组基的工具。例如，题目中的计算题第一部分，要求从基 到 基的过渡矩阵，通过解决线性方程组可以得到。
4. **解空间与基础解系**：解空间是指线性方程组的所有解构成的向量子空间。一个线性方程组的基础解系是该方程组解空间的一组基，其维度等于解空间的维数。如题目中的计算题第二部分，先找到基础解系，然后进行正交化处理。
5. **标准正交基**：标准正交基是一组互相正交且模长为1的向量，它是正交归一化的基。在处理物理问题或做数值计算时，标准正交基特别有用。在计算题中，通过Gram-Schmidt正交化过程将基础解系转化为标准正交基。
6. **Gram-Schmidt正交化过程**：这是将任意基转化为标准正交基的方法。过程包括逐步将每个新向量投影到之前生成的正交向量上，以消除它们之间的内积，然后除以其模长使其归一化。
7. **线性相关与线性无关**：判断一组向量是否线性相关或线性无关是线性代数中的基本问题。线性无关意味着没有一个向量可以表示为其他向量的线性组合，而线性相关则表示至少有一个向量可以由其他向量表示。
在考研准备中，深入理解这些概念并能熟练应用是至关重要的。通过对历年试题的分析，考生可以更好地理解这些概念的实际应用，提升解题技巧，从而在考试中取得理想成绩。
