根据提供的信息，《复变函数》这门课程是工程数学领域中的一个重要分支，主要涉及复数域上的函数理论及其应用。本篇文章将围绕该教材的主要知识点进行详细的解析与介绍。
### 复变函数基础
#### 1. 复数与复平面
- **复数定义**：形如\(z = x + yi\)的数被称为复数，其中\(x, y\)为实数，\(i\)是虚数单位，满足\(i^2 = -1\)。
- **复平面**：以实部\(x\)作为横坐标、虚部\(y\)作为纵坐标来表示复数的一种几何方式。
#### 2. 复数的运算
- 加法、减法遵循向量加减法的规则。
- 乘法、除法可以通过极坐标形式来进行计算，利用模长和辐角的概念。
#### 3. 复数序列与级数
- **收敛性**：复数序列或级数的收敛性判断类似于实数序列或级数。
- 特别地，对于幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\)，其收敛半径\(R\)可以通过达朗贝尔判别法或高斯判别法确定。
### 复变函数的基本概念
#### 1. 复变函数定义
- 形式上，若对于每个复变量\(z\)，都存在唯一的复值\(w\)与之对应，则称\(w=f(z)\)为复变函数。
- **可导性**：复变函数在某点可导的条件比实变函数更为严格，不仅要求极限存在，还需要满足柯西-黎曼方程。
#### 2. 柯西-黎曼方程
- 若复变函数\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)，其中\(u, v\)为实函数，则\(f(z)\)在点\(z_0\)可导当且仅当\(u, v\)在该点满足柯西-黎曼方程：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
\]
并且\(u, v\)在该点连续。
### 复积分与柯西积分定理
#### 1. 复积分
- **曲线积分**：类似于实变量积分，在复平面上沿一条光滑曲线对复变函数进行积分。
- **柯西积分公式**：如果\(f(z)\)在简单闭合曲线\(C\)内及其上处处解析，则对于\(C\)内的任何一点\(z_0\)，有
\[
f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz
\]
#### 2. 柯西积分定理
- 如果一个复变函数在其包围的区域内部及边界上处处解析，则它沿任何简单闭合曲线的积分等于零。
### 解析函数的幂级数展开
#### 1. 泰勒级数
- 如果函数\(f(z)\)在某个圆盘内解析，则它可以在这个圆盘内展开为泰勒级数
\[
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n
\]
#### 2. 洛朗级数
- 当函数在某点不可导但其邻域内解析时，可以展开成洛朗级数的形式
\[
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n
\]
其中，\(a_n\)是通过积分形式计算得出的。
### 单叶解析函数与共形映射
#### 1. 单叶解析函数
- 在一个区域内，如果复变函数\(f(z)\)的导数\(f'(z)\)处处不为零，则称\(f(z)\)为单叶解析函数。
#### 2. 共形映射
- **定义**：如果一个函数在某区域内处处解析且非常数，则该函数在该区域内保持角度不变（除了可能改变方向）。
- **应用**：共形映射在解决物理问题中的边界问题方面有着广泛的应用，例如流体力学中的势流问题。
以上是对《复变函数》这门课程主要内容的概述。通过对这些基本概念的理解，可以帮助学生更好地掌握复变函数的基础理论，并为进一步深入学习打下坚实的基础。
