《高等数学上册》是一门针对计算机科学与技术以及信息管理与信息系统专业的核心基础理论课程,旨在通过学习培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象和自学能力。这门课程涵盖向量代数、空间解析几何、微积分、常微分方程与无穷级数等基础知识。以下是第一章“函数与极限”的详细内容:
1. **函数概念**:函数是将一个集合(定义域)的元素映射到另一个集合(值域)的规则。它要求对于定义域内的每一个元素x,都有唯一确定的元素y与之对应,记为y=f(x)。理解函数的概念,包括函数的表示方法,如解析表达式、图像等,并能建立实际问题中的函数关系式。
2. **函数性质**:深入理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性,这些性质有助于分析函数的特性。奇函数满足f(-x) = -f(x),偶函数满足f(-x) = f(x),单调性涉及函数值的增减变化,周期性是指函数值重复出现的规律,有界性则指函数值域的限制。
3. **复合函数与分段函数**:复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数,例如f(g(x))。分段函数是不同区间上有不同表达式的函数,需要对每一段分别处理。
4. **基本初等函数**:包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等,掌握它们的性质和图像,这对于理解和应用函数至关重要。
5. **极限概念**:极限是描述函数在某一点附近的行为,表示函数值接近某一特定值的趋势。理解函数左极限、右极限和极限存在条件,以及极限的四则运算法则。
6. **极限的性质与计算**:包括极限的唯一性、保号性、局部保号性等,以及洛必达法则和两个重要极限(sinx/x在x→0的极限和e^x-1/x在x→0的极限)的应用。
7. **无穷小与无穷大**:无穷小表示趋于零的量,无穷大表示数值无限增长的量。掌握无穷小的比较方法和等价无穷小在求极限中的应用。
8. **函数连续性**:理解函数在某点连续的定义,包括左连续和右连续,以及函数连续点的类型。了解连续函数的性质,如介值定理、有界性定理、最大值和最小值定理,并能利用这些性质解决问题。
在教学过程中,不仅要传授知识,更要注重提高学生的数学素养,激发他们用数学工具解决实际问题的兴趣和能力。集合和映射作为数学的基础概念,对后续章节的理解至关重要。集合包括其表示方法、性质、运算(如并集、交集、差集和补集)及其法那么。映射则是集合间的一种特殊关系,强调一对一的对应关系,而函数是映射的一个特例,关注的是数集间的映射关系。通过学习这部分内容,学生可以建立起数学分析的基本框架,为后续的微积分理论打下坚实基础。