高数上册知识点
函数与极限是高等数学的重要组成部分,包括函数定义及性质、反函数、复合函数、函数的运算、函数的连续性与连续点、闭区间上连续函数的性质等。
一、函数定义及性质
* 函数定义:设有定义域D和值域R,若每一个输入值x ∈ D都对应一个输出值y ∈ R,则称为函数,记作y = f(x)。
* 函数性质:有界性、单调性、奇偶性、周期性等。
二、反函数、复合函数、函数的运算
* 反函数:设函数f是单射的,则存在反函数f^(-1),满足f(f^(-1)(x)) = x。
* 复合函数:设函数f和g,g(f(x))是复合函数。
* 函数的运算:函数的加减乘除等运算。
三、初等函数
* 幂函数:f(x) = x^n
* 指数函数:f(x) = a^x
* 对数函数:f(x) = loga(x)
* 三角函数:f(x) = sin(x)、f(x) = cos(x)、f(x) = tan(x)等
* 反三角函数:f(x) = arcsin(x)、f(x) = arccos(x)、f(x) = arctan(x)等
* 双曲函数:f(x) = sinh(x)、f(x) = cosh(x)、f(x) = tanh(x)等
* 反双曲函数:f(x) = arcsinh(x)、f(x) = arccosh(x)、f(x) = arctanh(x)等
四、函数的连续性与连续点
* 连续点:函数f在点x0处连续iff lim(x→x0)f(x) = f(x0)。
* 连续函数的性质:有界性、最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
五、极限
* 极限定义:lim(x→x0)f(x) = Aiff ∀ε > 0,∃δ > 0,使得0 < |x - x0| < δ ⇒ |f(x) - A| < ε。
* 极限存在准则:夹逼准则、单调有界准则等。
* 无穷小量:lim(x→x0)f(x) = 0iff ∀ε > 0,∃δ > 0,使得0 < |x - x0| < δ ⇒ |f(x)| < ε。
* 极限运算规则:lim(x→x0)af(x) = a × lim(x→x0)f(x)、lim(x→x0)f(x) ± g(x) = lim(x→x0)f(x) ± lim(x→x0)g(x)等。
六、导数与微分
* 导数定义:f'(x0) = lim(x→x0)[f(x) - f(x0)]/(x - x0)。
* 几何意义:导数是曲线在点处的切线的斜率。
* 可导与连续的关系:函数在点处可导iff 函数在点处连续。
* 导数运算规则:乘积法则、商法则、链式法则等。
七、高阶导数
* 高阶导数定义:f''(x0) = lim(x→x0)[f'(x) - f'(x0)]/(x - x0)。
* Leibniz 公式:(uv)' = u'v + uv'。
八、中值定理与导数的应用
* 中值定理: Rolle 定理、Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理等。
* 导数的应用:单调性判别法、极值及其判定定理、凹凸性及其判断等。
九、洛必达法则
* 洛必达法则:lim(x→x0)f(x)/g(x) = lim(x→x0)f'(x)/g'(x)。
十、Taylor 公式
* Taylor 公式:f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + ...。
十一、单调性及极值
* 单调性判别法:f'(x) > 0,f(x) 单调增加;f'(x) < 0,f(x) 单调减少。
* 极值及其判定定理:必要条件、充分条件等。
十二、凹凸性及其判断
* 凹凸性定义:f''(x) > 0,f(x) 凹;f''(x) < 0,f(x) 凸。
* 凹凸性判定定理:在上连续、有一阶、二阶导数等。
十三、拐点
* 拐点定义:设在区间 I 上连续,是的点,如果曲线经过点时,曲线的凹凸性改变了,那么称点为曲线的拐点。
十四、不等式证明
* 不等式证明方法:利用微分中值定理、函数单调性、极值等。
十五、方程根的讨论
* 方程根的讨论:连续函数的介值定理、Rolle 定理、函数单调性、极值、凹凸性等。
十六、渐近线
* 铅直渐近线:lim(x→∞)f(x) = ∞,那么为一条铅直渐近线。
* 水平渐近线:lim(x→∞)f(x) = L,L 是常数,那么为一条水平渐近线。
* 斜渐近线:lim(x→∞)f(x) = x + L,L 是常数,那么为一条斜渐近线。