二次函数恒成立问题.doc

二次函数恒成立问题主要涉及高中数学中的二次函数性质和解题策略。这类问题通常要求找到一个二次函数的参数，使得该函数在特定区间内恒正或者恒非负。以下是几个关键知识点： 1. **恒成立问题的基本类型**： - 类型1：二次函数\(f(x) = ax^2 + bx + c\)，要求在实数集\(R\)上恒正或恒非负，条件通常是\(a > 0\)。 - 类型2：根据\(a\)的符号，确定函数\(f(x)\)在\(R\)上恒正或恒非负的具体条件。 - 类型3：寻找函数\(f(x)\)的最小值或最大值，使得在整个实数集上恒成立。 - 类型4：涉及两个函数的比较，一个函数的图像始终在另一个函数上方或下方。 2. **解题策略**： - **策略一：利用二次函数的判别式**：若\(a > 0\)，判别式\(\Delta \leq 0\)，则函数在\(R\)上恒非负。 - **策略二：利用函数的最值**：要求函数的最小值大于或等于某个常数，或者最大值小于或等于某个常数。 - **策略三：利用零点分布**：考虑二次函数的根（零点）的位置，根据零点与区间的关系确定参数范围。 - **策略四：分离参数法**：将含参数的不等式转换为关于主元的最值问题，然后求解参数。 3. **例题解析**： - 例1：通过讨论二次项系数\(m-1\)是否为0，确定\(m\)的取值范围，确保不等式在\(R\)上恒成立。 - 例2：将恒成立问题转化为求函数在闭区间上的最值问题，然后解出参数\(a\)的取值范围。 - 例3：考虑函数的零点分布，分无零点、零点在区间左侧和右侧三种情况，解出\(a\)的取值范围。 - 例4：使用分离参数法，将不等式转换为主元函数的最大值问题，从而求出参数\(a\)的取值范围。 在解决二次函数恒成立问题时，理解函数的性质、判别式的作用以及最值的概念至关重要。通过分析题目类型并选择合适的解题策略，可以有效地解决这类问题。对于涉及参数的恒成立问题，常常需要分类讨论和求函数最值，同时注意函数图象与x轴的相对位置，以确定参数的取值范围。