抽屉原理(一)
抽屉原理是数学中的一种重要原理,它有两个基本原理:(1)如果把 x+k(k≥1)个元素放到 x 个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有 2 个或 2 个以上的元素。(2)如果把 m×x×k(x>k≥1)个元素放到 x 个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。
利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”,哪些是“元素”。然后按以下步骤解答:a、构造抽屉,指出元素。b、把元素放入(或取出)抽屉。c、说明理由,得出结论。
在第 29 讲中,我们学习了抽屉原理的第一个原理及其应用。下面是一些例题:
【例题 1】某校六年级有学生 367 人,请问有没有两个学生的生日是同一天?为什么?
把一年中的天数看成是抽屉,把学生人数看成是元素。把 367 个元素放到 366 个抽屉中,至少有一个抽屉中有 2 个元素,即至少有两个学生的生日是同一天。
【例题 2】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是:有买一本的、二本的、三本的,问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本)?
首先考虑买书的几种可能性,买一本、二半、三本共有 7 种类型,把 7 种类型看成 7 个抽屉,去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有 2 人,那么去的人数应大于抽屉数。所以至少要去 7+1=8(个)学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。
【例题 3】一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子,颜色有绿、红、黄三种。问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的?
把三种不同的颜色看成是 3 个抽屉,把珠子看成是元素,要保证有 1 副同色的,就是 1个抽屉里至少有 2 只珠子,根据抽屉原理,最少要摸出 4 只珠子。
【例题 4】任意 5 个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是 4 的倍数,这是为什么?
一个自然数除以 4 的余数只能是 0,1,2,3。如果有 2 个自然数除以 4 的余数相同,那么这两个自然数的差就是 4 的倍数。一个自然数除以 4 的余数可能是 0,1,2,3,所以,把这 4 种情况看成是 4 个抽屉,把自然数看成是元素。要保证至少有两个数的差是 4 的倍数,那么至少需要 5 个自然数。
这些例题都展示了抽屉原理在解决问题中的应用。通过学习这些例题,可以更好地理解抽屉原理的基本原理和应用方法。
在练习中,我们可以继续练习更多的例题,以加深对抽屉原理的理解和应用。例如:
练习 1:某校有 370 名 1992 年出生的学生,其中至少有 2 个学生的生日是同一天,为什么?
练习 2:某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是:有买一本的、二本的、三本或四本的。,问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本)?
练习 3:一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子,颜色有绿、红、黄三种。问最少要取出多少个珠子才能保证有三个同色的?
通过这些练习,我们可以更好地掌握抽屉原理的应用和解决问题的方法。