梯度下降法是一种在机器学习和优化问题中广泛使用的算法，用于寻找函数的最小值。在MATLAB中，我们可以利用其强大的数值计算能力来实现这一方法。本文将深入讲解梯度下降法的基本原理、MATLAB实现及其在吴恩达教授的机器学习课程中的应用。
梯度下降法的核心思想是沿着函数梯度的反方向逐步迭代，以期望在每次迭代后函数值减少，最终达到局部或全局最小值。梯度表示了函数在当前位置的增益方向和速率，负梯度则指示了下降最快的方向。
在MATLAB中，我们通常定义目标函数、计算梯度函数以及设置迭代参数（如学习率、迭代次数等）来实现梯度下降。以下是一个简单的MATLAB代码框架：
```matlab
function [theta] = gradient_descent(X, y, theta, alpha, num_iters)
m = size(X, 1); % 训练样本数量
J_history = zeros(num_iters, 1); % 存储损失函数的历史值
for iter = 1:num_iters
gradients = calculate_gradients(X, y, theta); % 计算梯度
theta = theta - alpha * gradients; % 更新参数
% 记录损失函数值
J_history(iter) = compute_cost(X, y, theta);
% 可视化或打印进度
if mod(iter, 100) == 0
disp(['Iteration ', num2str(iter), ': Cost = ', num2str(compute_cost(X, y, theta))]);
end
end
end
function gradients = calculate_gradients(X, y, theta)
% 在这里实现计算梯度的代码
end
function cost = compute_cost(X, y, theta)
% 在这里实现计算损失函数的代码
end
```
在吴恩达教授的机器学习课程中，梯度下降法被用于线性回归、逻辑回归和神经网络的参数优化。例如，在线性回归中，目标函数通常是均方误差，而梯度则涉及到了预测值与真实值的差值。通过迭代更新权重向量`theta`，我们可以找到最佳拟合线。
MATLAB代码中的`X`代表特征矩阵，`y`代表目标变量，`theta`是待优化的参数向量，`alpha`是学习率，`num_iters`是最大迭代次数。`calculate_gradients`函数计算目标函数关于每个参数的梯度，`compute_cost`函数计算当前参数下的损失函数。
在实际应用中，梯度下降法可能面临局部最小值的问题，因此有时需要结合随机梯度下降法或者使用更高级的优化算法如牛顿法或拟牛顿法。同时，学习率的选择对梯度下降的效果有很大影响，过大可能导致震荡不收敛，过小则会导致收敛速度慢。
MATLAB提供的工具和语言特性使得实现梯度下降法变得直观且高效。通过理解并运用这些知识，我们可以解决许多实际的机器学习问题，并在斯坦福大学吴恩达教授的课程中进一步深入学习和实践。
MATLAB梯度下降法.zip （1个子文件） 
MATLAB梯度下降法_1626192014 
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