### 2007年高考数学试题分类汇编知识点解析
#### 一、集合与简易逻辑
##### 1. 集合的概念及运算
**例题解析：**
- **题目1:** 给定集合{1, a, b} = {0, a, b + a}，求解\(b - a\)的值。
- **解析:** 由题意知，集合中的元素相同，即1 = 0或1 = a或1 = b + a。显然1 ≠ 0，因此只能有1 = a或1 = b + a。若1 = a，则b + a = b + 1 = 0，解得b = -1。此时\(b - a = -1 - 1 = -2\)。选项为D。
- **题目2:** 已知集合M={0，1，2}，N={(x，y)|x−2y+1≥0且x−2y−1≤0，x，y∈M}，求N中元素的个数。
- **解析:** 分别代入x、y的所有可能值计算不等式组，找出满足条件的(x,y)组合。经验证，符合条件的组合为(0,0)、(1,0)、(2,0)、(1,1)，共4组。选项为C。
##### 2. 条件判断与充分必要性分析
**例题解析：**
- **题目3:** 设p：f(x) = e^x + ln x + 2x^2 + mx + 1在(0，+∞)内单调递增，q：m ≥ -5，则p是q的什么条件？
- **解析:** 为了使函数f(x)在(0，+∞)内单调递增，其一阶导数f'(x)必须在该区间内非负。计算f'(x)并分析，可得出m的限制条件为m ≥ -5。因此，p成立时q一定成立，但q成立时p不一定成立，故p是q的必要不充分条件。选项为B。
- **题目4:** 设P和Q是两个集合，定义\(Q-P = \{x|x \in P \text{ 且 } x \notin Q\}\)，如果P = {x|0 < x < 2}，Q = {x|1 < x < 3}，求Q-P。
- **解析:** 由定义知，Q-P包含所有属于P但不属于Q的元素。P中x的范围为(0, 2)，而Q中x的范围为(1, 3)。因此，Q-P包含所有满足0 < x ≤ 1的元素。选项为B。
##### 3. 充分必要条件综合应用
**例题解析：**
- **题目5:** 已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。判断下列命题正确性。
- **解析:** 根据条件可知，s是q的必要条件，p是q的充分条件，r是q的必要条件而不是充分条件，s是p的必要条件而不是充分条件，r是s的充分条件而不是必要条件。综合判断，选项B正确。
#### 二、函数与导数
##### 1. 函数的定义域及图像分析
**例题解析：**
- **题目6:** 已知函数\(f(x) = \frac{1}{1-x}\)的定义域为M，\(g(x) = \ln(1+x)\)的定义域为N，求\(M \cap N\)。
- **解析:** \(f(x)\)定义域为\(x \neq 1\)，即\(x < 1\)或\(x > 1\)；\(g(x)\)定义域为\(x > -1\)。两者交集为\(-1 < x < 1\)。选项为C。
##### 2. 函数的性质及最值问题
**例题解析：**
- **题目7:** 设\(a > 1\)，函数\(f(x) = \log_a x\)在区间\([a, 2a]\)上的最大值与最小值之差为\(\frac{1}{2}\)，求a的值。
- **解析:** 在给定区间上，函数\(f(x)\)的最大值为\(\log_a (2a)\)，最小值为\(\log_a a = 1\)。根据题意，\(\log_a (2a) - 1 = \frac{1}{2}\)，即\(\log_a 2a = \frac{3}{2}\)。解此方程得到\(a = \sqrt{2}\)。选项为A。
以上题目覆盖了集合的基本概念、运算及其与充分必要条件的关系，同时也涉及到了函数的定义域、图像以及最值问题。这些知识点对于理解和掌握高考数学中的基础概念至关重要。
