第28讲巧解简单的不定方程.pdf

在数学的领域中，不定方程是一个既古老又充满挑战的主题。其定义看似简单：未知数的个数多于方程个数的方程组。但在求解过程中，却往往需要借助巧妙的方法和技巧。本讲的核心内容便是对解决这类问题的策略进行深入探讨，使求解变得更为直观和高效。 我们来看如何利用整除性质来解决不定方程。整除性质在数学中是一种基础且强大的工具，它能帮助我们限制未知数的取值范围。例如，在本讲中的【例1】，马小富在甲、乙两家公司的总收入为7620元。要解决这个问题，可以首先根据甲公司的月薪470元和乙公司的月薪350元，以及月收入的末位数字规律，来确定他在两家公司工作的月份数。由于7620的末位数字是0，这意味着他必须在两个公司的工作月数都是整除20的。通过这样的分析，我们可以列出符合条件的月份数，继而求解出具体的月份数。 分析末位数字也是一个非常实用的方法。在【例1】中，我们利用了35y末位数字只能是5或0，由此限制了47χ末位数字必须是7或2。有了这一规律，我们就可以通过尝试不同的χ值来找到符合条件的解。这种方法对于缩小求解范围非常有效。 第三个策略是将一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后通过试算求解。【例3】就是一个很好的例子，设男职工为χ，女职工为y，题目告诉我们男职工每人种了15棵树，女职工每人种了12棵树。我们需要找出一个满足这些条件的整数解。我们可以通过列出方程组，结合题目给出的隐含条件——男女职工总人数必须能被3整除，经过试算后得到女职工人数的可能值。 第四个方法是直接根据方程确定未知数的取值范围，并通过试算求解。【例2】中，为了使损耗最小，我们需要尽可能多地锯成90毫米的铜管。这就要求我们分析χ和y的关系，通过逐步试错来确定最优的段数分配。 我们来谈谈在实际问题中如何灵活运用这些方法。以【例4】小明看书的问题为例，我们可以通过分析小明每天看书页数的变化规律，来建立关于χ和y的方程组。通过求解这个方程组，我们最终能够确定小明第五天至少看了多少页书。 上述内容介绍了巧解简单的不定方程的几种方法。这些方法不仅仅适用于奥数竞赛中的问题，在我们的日常生活中也有广泛的应用。例如，我们在处理财务问题、资源分配、甚至日常购物时，都可能会遇到需要运用这些方法来寻找最优解的情况。通过本讲的学习，我们不仅能够解决数学上的不定方程，更重要的是培养了灵活运用数学思想解决问题的能力。而这种能力的提升，对我们的逻辑思维能力和问题解决能力有着不可估量的价值。因此，我们建议学习者在掌握这些方法的同时，也要多加练习，以提高解决不定方程问题的熟练度。随着练习的深入，你会发现这些技巧在解决各种实际问题时，都变得愈发得心应手。