小波变换在数字图像处理中的应用
小波变换是近年来兴起的一种新的数学分支，素有“数学显微镜”的美称。它是继1822年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的领域，解决了很多傅立叶变换不能解决的困难问题。小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理，具有良好的局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性，具有极强的自适应性，因此在图像处理中具有极好应用价值。
小波变换的理论包括小波定义、多分辨分析、Mallat算法等几个方面。
小波定义：小波是指函数空间L²(R)中的满足下述条件的一个函数或者信号x(t)，其中，x(t)满足某些特定的条件，例如连续性、可微分性、可积分性等。小波变换定义为：
Wf(a,b) = ∫∞ -∞ f(x)ψ(a,b,x)dx
其中，ψ(a,b,x)是小波基函数，a是尺度参数，b是时间参数。
多分辨分析：多分辨分析是指设{Vj ; j ∈ Z} 是L²(R)上的一个列闭子空间，其中的一个函数，如果它们满足如下五个条件，即单调性、惟一性、稠密性、伸缩性、Riesz基存在性。多分辨分析可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理，具有良好的局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性。
Mallat算法：Mallat算法是将L²(R)上的多分辨分析记为{{;}; ( )}JVjZxφ∈，其中，φ(x)是尺度函数，Vj是闭子空间。Mallat算法可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理，具有良好的局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性。
在数字图像处理中，小波变换可以应用于图像分解和图像压缩。图像分解是指将图像分解成低频信息和高频信息两个部分，低频信息可以用于图像的压缩和恢复，而高频信息可以用于图像的边缘检测和图像的去噪。图像压缩是指将图像的大小减小，以减少图像的存储空间和传输时间。小波变换可以应用于图像压缩，达到图像压缩的目的。
在Matlab软件中，小波变换可以用于图像分解和图像压缩。需要读取图像文件，并将其转换为数字信号。然后，使用小波变换将图像分解成低频信息和高频信息两个部分。使用低频信息对图像进行压缩，达到图像压缩的目的。
小波变换在数字图像处理中的应用非常广泛，具有良好的局部化性质和自适应性，能够有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性。因此，小波变换在数字图像处理中的应用前景非常广阔。
