三角函数性和e指数形式的傅里叶变换.pdf
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2023-06-09
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三角级数、傅里叶级数
对于所有在以 2pi 为周期的函数 f(x)，可以用一组如下的三角函数
系将其展开：
1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……
显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获
得函数 f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系
为坐标的投影值 a0,an,bn……
一个一般的函数 f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的
展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项 a0
和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。
傅里叶级数的复数形式
根据欧拉公式 e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，
即 cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一个
周期函数 f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系 1，
e^jx，……，e^jnx 上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。
但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将
有所变化。由于复数的引入，每一个复指数 e^jnx 相对于三角函数系
都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，
一个实参 a 表示数轴上的一点，而一个复数 a+bj 表示二维坐标上的
一点，所以 cosx，sinx 分别表示
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