模运算和凯撒密码.pdf
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模运算和凯撒密码 模运算是一种基本的数学运算,它在数论和程序设计中都有着广泛的应用。模运算的定义是将一个整数除以另一个整数,并取余数。例如,11 Mod 2 的结果是 1。 模运算的性质有许多,以下都是: 1. 同余式:正整数 a,b 对 p 取模,它们的余数相同,记做 a ≡ b %p 或 a ≡ b (mod p)。 2. n % p 取得结果的正负由被除数 n 决定,与 p 无关。 3. 假设 p|(a-b) ,那么 a≡b (% p)。 4. (a % p)=(b % p) 意味 a≡b (% p)。 5. 对称性:a≡b (% p) 等价于 b≡a (% p)。 6. 传递性:假设 a≡b (% p) 且 b≡c (% p) ,那么 a≡c (% p)。 模运算的应用非常广泛,以下是一些例子: 1. 判别奇偶数:一个整数 n 对 2 取模,若是余数为 0,那么表示 n 为偶数,不然 n 为奇数。 2. 判别素数:一个数,若是只有 1 和它本身两个因数,那么它是一个素数。 3.凯撒密码:凯撒密码是一种简单的加密方法,它使用模运算来加密和解密信息。 模运算在程序设计中的应用非常广泛,以下是一些例子: 1. 模幂运算:(a^b) % p = ((a % p)^b) % p。 2. 模加法:(a + b) % p = (a % p + b % p) % p。 3. 模减法:(a - b) % p = (a % p - b % p) % p。 4. 模乘法:(a * b) % p = (a % p * b % p) % p。 模运算的应用还包括孙子问题、最大公约数的求法等等。 凯撒密码是一种简单的加密方法,它使用模运算来加密和解密信息。凯撒密码的加密过程是将明文加上一个密钥,然后对结果取模来获得密文。 例如,如果我们想要加密字符串 "hello",我们可以使用密钥 3 加密它。那么,我们可以使用以下公式来加密: c = (m + k) % 26 其中,c 是密文,m 是明文,k 是密钥。 使用这个公式,我们可以获得密文 "khoor"。 凯撒密码的解密过程是将密文减去密钥,然后对结果取模来获得明文。 例如,如果我们想要解密密文 "khoor",我们可以使用密钥 3 解密它。那么,我们可以使用以下公式来解密: m = (c - k) % 26 其中,m 是明文,c 是密文,k 是密钥。 使用这个公式,我们可以获得明文 "hello"。 模运算是一种基本的数学运算,它在数论和程序设计中都有着广泛的应用。模运算的应用包括判别奇偶数、判别素数、凯撒密码等等。
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