这份高二数学期中考试题涵盖了多个数学知识点，包括逻辑推理、不等式、等差数列、等比数列、解集分析、方程根的性质、函数的单调性等。下面对这些知识点进行详细解释：
1. **命题否定**：题目中涉及的是存在量词命题的否定。命题：“∃x₀ ≤ 0, x₀² - x₀ - 1 > 0”的否定是“∀x ≤ 0, x² - x - 1 ≤ 0”，这意味着所有小于等于0的x都要满足不等式的反面。
2. **充分必要条件**：考察条件关系。“a > 1”是“1 < 1/a”的充分不必要条件，因为当a > 1时，1/a > 1显然成立，但反过来不成立，所以是充分不必要条件。
3. **不等式比较**：比较M = 2a(a - 2)和N = (a + 1)(a - 3)的大小。通过展开和比较系数可以发现，M - N = 2a - 4 - (a² - 2a - 3) = a² - 2a - 4 + 3 = a² - a - 1，这在a = 1/2处取得最小值，因此M不一定大于N，可能相等也可能小于N。
4. **不等式性质**：对于a > b，不等式a + c ≥ b - c一定成立，因为我们可以将a移到b的一侧得到a - b ≥ -c，然后两边同时加上c即可。
5. **等差数列问题**：这是一个基于中国古代数学的问题，根据歌诀描述，这是一个公差为3的等差数列，总和为207，可以求解最小的儿子年龄。
6. **等比数列**：如果a2017和a2018是方程4x² - 8x + 3 = 0的两根，利用韦达定理，可以求得这两个数的和和乘积，进一步求出a2019 + a2020。
7. **不等式解集**：不等式a - x ≥ 0的解集是{x | x ≤ a}，结合a + b < 0，可以推导出正确答案。
8. **等差数列性质**：如果数列{an}是等差数列，那么a1 + a3 > 0意味着a2 = (a1 + a3)/2 > 0，因此a1 + a2 > 0。
9. **二次不等式**：不等式(a² - 4)x² + (a + 2)x - 1 ≥ 0的解集为空，意味着判别式小于0并且a² - 4 ≠ 0，从而得出a的范围。
10. **数列求和**：数列{an}的通项公式为an = n²sin(2n + 1π)/2，利用正弦函数的周期性和对称性，可以计算前2020项的和。
11. **不等式恒成立**：不等式a + b ≥ -x² + 4x + 18 - m对所有实数x恒成立，转化为求函数y = -x² + 4x + 18的最大值，并确保a + b大于这个最大值减去m。
12. **等差数列的性质与递减序列**：数列{an}是等差数列，bn = Sn/n，若{bn}是递减数列，需要确定k的值使得bn随着n的增大而减小。
13. **二次函数最值**：0 < x < 1时，x(1 - 3x)的最值可以通过求导或配方法找到。
以上是对试题中涉及到的数学知识点的详细解析，涵盖了解题思路和方法，希望对学习有所帮助。
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