随机信号分析课后习题答案第一次作业：练习一之1、2、3题
1.1 离散随机变量X由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。
解：
随机信号分析是信号处理领域的一个核心概念，主要研究随机变量或随机过程的性质。课程的课后习题通常涵盖概率论、随机变量的统计特性、概率分布、特征函数以及随机过程的基本理论，如平稳性和各态历经性。下面将详细解答题目中涉及到的知识点。
1.1 离散随机变量的数学期望和方差计算：
离散随机变量X的期望是各个样本值乘以其对应的概率之和，方差则是各个样本值与期望差的平方乘以其对应概率之和。对于题目中的X，其期望和方差计算如下：
期望E(X) = 0*(1/2) + 1*(1/4) + 2*(1/8) + 3*(1/8) = (1/2) + (1/4) + (1/4) = 1
方差Var(X) = E[(X - E(X))^2] = (0-1)^2*(1/2) + (1-1)^2*(1/4) + (2-1)^2*(1/8) + (3-1)^2*(1/8) = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
1.2 连续随机变量的概率分布函数求解：
连续随机变量的概率分布函数F(x)必须满足F(x)在x趋向负无穷时为0，当x趋向正无穷时为1，且F(x)是连续的非减函数。根据题目中给出的分布函数，可以求出系数A，然后计算X在(0.5, 1)内的概率。
1.3 判断连续随机变量概率分布函数的正确性：
这涉及到概率分布函数的性质，包括它在负无穷到正无穷的积分应为1，且在任何点的左极限不小于其值，右极限不大于其值。通过检验这些条件，我们可以确定哪些表达式表示的是概率分布函数。
1.4 均匀分布随机变量的数学期望和方差：
均匀分布的随机变量X在区间[α, β]上的期望是区间的中心点，即E(X) = (α + β) / 2，方差是区间的长度平方除以12，即Var(X) = (β - α)^2 / 12。
1.5 通过概率密度函数的变换求新随机变量的概率密度：
给定随机变量X的概率密度函数，如果Y = g(X)，则Y的概率密度函数可以通过链式法则得到，即fY(y) = fX(g(y))|g'(y)|。
1.6 独立随机变量的线性组合的概率密度：
独立随机变量X1和X2在[0, 1]上均匀分布，Y = nX1 + (n-1)X2的概率密度可以通过对X1和X2的概率密度进行积分来求得，对于不同n值的情况，概率密度的计算方法类似。
1.7 相关随机变量的期望、方差和相关矩：
如果X和Y的期望分别是m和v，方差分别是σ²_X和σ²_Y，那么随机变量Z = aX + bY的期望是a*m + b*v，方差是a²*σ²_X + b²*σ²_Y，而X和Y的相关矩是cov(X, Y) = E[(X-m)(Y-v)]。
以上是随机信号分析课程的部分习题解答，涵盖了离散随机变量、连续随机变量、概率分布函数的性质、随机变量的变换、均匀分布、概率密度函数的求解以及随机变量的相关性分析。在实际工程应用中，这些知识用于分析信号的统计特性，对信号进行滤波、检测和估计等操作。
