数学建模典型例题.doc

文档“数学建模典型例题.doc”包含了两个数学建模问题，一个是关于人体重变化的模拟，另一个涉及公司的汽车投资策略。以下是对这两个问题的详细分析和解释。 **一、人体重变化问题** 该问题首先给出了一个人每天的能量摄入、基础代谢率以及运动消耗的热量。目标是研究体重随时间变化的规律。为了实现这个目标，我们进行了以下步骤： 1. **问题分析**：体重的变化是由摄入和消耗热量的差值决定的。由于体重变化是连续的，我们可以采用微分方程来描述这一过程。 2. **模型假设**： - 脂肪储存效率100%，多余能量转化为脂肪。 - 当摄入能量超过消耗时，多余能量储存为脂肪。 - 体重变化被视为连续函数。 - 设定初始体重为W0。 3. **模型建立**：在微小的时间间隔△t内，体重变化等于摄入能量减去消耗能量，然后将这个差值乘以时间△t。这导致了一个微分方程： \( \frac{d}{dt}(W(t+\triangle t)-W(t)) = (10467-5038-69W(t))\cdot \triangle t \) 4. **模型求解**：对上述微分方程进行简化和求解，得到体重W(t)随时间t的变化公式： \( W(t) = \frac{5429}{69} - \frac{(5429-69W_0)}{5429}e^{-\frac{69t}{41686}} \) 5. **结果解析**：当t趋于无穷大时，体重趋于稳定值81千克，这是在没有进一步能量摄入和消耗情况下，体重的长期稳定状态。 **二、投资策略问题** 这是一个关于公司如何在5年内购买和出售汽车以实现最低成本投资的优化问题。 1. **问题重述**：公司需要在5年内购买和卖出汽车，并希望确定最佳的买入和卖出时机，以最小化总成本。 2. **问题分析**：这个问题可以转化为寻找最短路径问题，因为每个购车和卖车的决策可以看作图中的边，而成本对应于边的权重。因此，我们可以利用图论方法来解决。 3. **条件假设**：除了购买、折旧、运营和维护成本之外，没有其他费用。 4. **模型建立**：构建一个矩阵表示不同年份之间的买入和卖出汽车的成本（以千元为单位），并使用Dijkstra算法寻找从购买到出售的最短路径，即最低成本策略。 5. **应用Dijkstra算法**：Dijkstra算法是一种用于寻找图中最短路径的算法。在这个问题中，我们将从第一年出发，通过迭代更新最短路径，直到达到第五年。最终得到的路径就是最低成本的投资策略。 通过对这两个问题的建模和求解，我们可以看到数学建模在解决实际问题中的应用，包括如何利用微分方程来描述动态过程，以及如何通过图论和算法来解决优化问题。这些方法在工程、经济、生物等多个领域都有广泛应用。