绝对值不等式的应用
绝对值不等式是高中数学中的一个重要知识点,它广泛应用于数学竞赛、数学建模、科学研究等领域。今天,我们将对福建省长泰高考数学一轮复习《绝对值不等式的应用》学案进行详细的解读和分析。
主要性质
绝对值不等式的主要性质可以总结为以下四点:
1. |x|=
2. |x|≥0
3. ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
4. |ab|=,=(b≠0)
解法
对于绝对值不等式的解法,我们可以总结为以下四点:
1. |f(x)|≥a
2. |f(x)|≤a
3. a≤|f(x)|≤b
4. 对于类似a|f(x)|+b|g(x)| > c的不等式,应找出绝对值的零点,以此划分区间进行讨论求解。
典型例题
已知f(x)=,g(x)=x+a(a>0),①当a=4时,求的最小值;②若不等式>1对x∈[1, 4]恒成立,求a的取值范围。
解:(1)a=4时,最小值15;(2),x∈[1,4]恒成立。
证明
对于实数λ的取值范围,使不等式||>1对满足|a|<1,|b|<1的所有实数a、b恒成立,可以证明:
|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1)>0
∵|a|<1,|b|<1,∴a2-1<0,b2-1<0.
∴|1-ab|>|a-b|,=>1.
解
对于满足|a|<1的a恒成立,||||>1|1-abλ|2-|aλ-b|2=(a2λ2-1)(b2-1)>0.
∵b2<1,∴a2λ2-1<0
对于任意满足|a|<1的a恒成立,当a=0时,a2λ2-1<0成立;当a≠0时,要使λ2<对于任意满足|a|<1的a恒成立,而>1,∴|λ|≤1.
故-1≤λ≤1.
应用
绝对值不等式广泛应用于数学竞赛、数学建模、科学研究等领域。例如,在数学竞赛中,绝对值不等式是一种常见的题型,需要学生具备解决绝对值不等式的能力。
教学建议
在教学中,应注意绝对值与函数问题的结合,帮助学生建立起系统的知识结构。同时,教师也可以通过实践活动、讨论、项目学习等方式,帮助学生更好地理解和应用绝对值不等式。
结语
绝对值不等式是一个非常重要的知识点,它广泛应用于数学竞赛、数学建模、科学研究等领域。通过对福建省长泰高考数学一轮复习《绝对值不等式的应用》学案的分析和解读,我们可以更好地理解和应用绝对值不等式,提高数学能力和解决问题的能力。