概率论和数理统计是数学的一个重要分支，它在数据分析、工程、科学和经济学等领域有着广泛的应用。以下是一些从给定的期末考试题库中提取的关键知识点：
1. **事件概率**：
- **独立事件**：事件A和B独立，意味着P(B|A) = P(B)。如果P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.8，我们可以计算P(A+B)，即A和B至少发生一个的概率，P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.5 + 0.6 - 0.8 = 0.3。
- **并集概率**：若P(A∪B)已知，且P(A), P(B)也已知，可以求得P(A)-P(B)+P(A∩B) = P(A∪B)。例如，P(A∪B) = 0.6，P(A)=0.4, P(B)=0.3，则P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B) = 0.4 + 0.3 - 0.6 = 0.1。
2. **随机变量**：
- **均匀分布**：随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，其期望E(X) = (a+b)/2 = (0+2)/2 = 1，方差D(X) = (b-a)^2/12 = (2-0)^2/12 = 1/3。
- **泊松分布**：随机变量X服从参数λ的泊松分布，E(X) = λ，D(X) = λ。如果λ=1，E(X) = 1。
3. **二项分布**：
- 对于独立的伯努利试验，成功概率为p，进行n次试验，至少成功k次的概率可以通过二项分布计算。如题，对于至少命中一次的概率，可以用1减去全不命中的概率来计算。
4. **大数定律与中心极限定理**：
- 当独立重复试验的次数足够大时，成功次数的均值接近于试验次数乘以成功率，方差达到最大值时，成功率是1/2，此时方差等于试验次数的平方除以4，即D(X) = n * p * (1-p)，最大值为100 * 1/2 * (1-1/2) = 25。
5. **边缘分布**：对于二维正态分布的随机向量(X, Y)，X的边缘分布仍然是正态分布。
6. **期望与方差**：
- 如果X的期望是E(X)，方差是D(X)，那么对于kX+b，其期望E(kX+b) = kE(X) + b，方差D(kX+b) = k^2D(X)。
- 对于随机变量的线性组合E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)，D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)。
7. **相关系数**：
- 若两个随机变量X和Y的相关系数ρ=-1，表明它们是完全负相关，即一个变量增加时，另一个变量减少。
8. **正态分布**：
- 正态分布的性质可用来求解某些问题，如给定Z=X-Y+5，其中X和Y分别服从N(-2,4)和N(3,9)，Z会服从N(-2,25)。
- 利用标准正态分布表（Φ函数），可以计算正态分布下特定区间的概率。
9. **t分布**：
- 当T服从自由度为n的t分布时，可以根据t分布的性质进行计算。
10. **泊松分布的性质**：
- 如果随机变量Y = 3X - 2，X服从参数为2的泊松分布，那么E(Y) = 3E(X) - 2 = 3 * 2 - 2 = 4。
以上知识点涵盖了概率论和数理统计的一些基础概念，包括概率、随机变量、分布、期望、方差、相关性和大数定律等。学习这些内容有助于理解统计分析的基础，并在实际问题中应用概率模型进行预测和推断。
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