常用因式分解公式

常用因式分解公式 因式分解是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛。本文将介绍常用的因式分解公式和方法，包括待定系数法、双十字相乘法、求根法等。 1. 待定系数法 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛。在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数。由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法。 例 1：分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3。 分析：由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m 和 x+y+n 的形式，应用待定系数法即可求出 m 和 n，使问题得到解决。 解：设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得 m=3，n=1。所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)。 2. 双十字相乘法 双十字相乘法是另一种常用的因式分解方法。例如，分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3，可以用双十字相乘法来解决。 3. 求根法 求根法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛。在一元多项式中，如果原式有有理根，那么它的根一定是±1，±7（7 的约数），经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式。如果原式能分解，只能分解为（x2+ax+b）（x2+cx+d）的形式。 例 2：分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7。 分析：本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7（7 的约数），经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式。如果原式能分解，只能分解为（x2+ax+b）（x2+cx+d）的形式。 解：设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，比较两边对应项的系数，则有解之得 b=1，d=7。所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)。 4. 因式定理 定理 1（因式定理）：若 a 是一元多项式 f(x) 的根，即 f(a)=0 成立，则多项式 f(x) 有一个因式 x-a。 定理 2：如果一元多项式 f(x) 的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根。如果 p/q 是多项式 f(x) 的一个有理根，那么 p 必须是常数项 a0 的约数，q 必须是最高次项 an 的约数。 例 3：分解因式：x3-4x2+6x-4。 分析：这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4 的约数，逐个检验-4 的约数：±1，±2，±4，只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0， 即 x=2 是原式的一个根，所以根据定理 1，原式必有因式 x-2。 解法 1：用分组分解法，使每组都有因式（x-2）。 原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)。 解法 2：用多项式除法，将原式除以（x-2）。 原式=(x-2)(x2-2x+2)。