本文介绍了一种用于基于全变分（Total Variation，简称TV）的图像恢复问题的广义加速近邻梯度（Generalized Accelerated Proximal Gradient，简称GAPG）方法。文章作者为王梦佐和林州臣，他们两位分别是IEEE的会员和高级会员。该方法基于图像处理中的凸优化问题，特别针对图像恢复问题进行了优化。
在图像处理中，图像恢复问题通常可以表述为从含有噪声的观测数据中恢复原始图像的问题。这一过程涉及先应用线性算子（可能条件差或者甚至是奇异的），然后向结果中添加噪声。采样（subsampling）的步骤也可能导致某些值丢失。典型的线性算子可能会导致逆问题求解变得非常困难。为了求解这样的线性逆问题，通常需要在目标函数中引入正则化项，以便利用先验知识恢复原始图像。
在本文中，GAPG算法通过用适当的正定矩阵替换Lipschitz常数来推广原始的加速近邻梯度（Accelerated Proximal Gradient，简称APG）算法，从而加快了算法的收敛速度。对于基于TV的图像恢复问题，作者进一步引入了两个辅助变量来近似偏导数。通过这种方式，可以轻松地施加对变量的约束，并且TV正则化既可以是各向同性的，也可以是各向异性的。
相比最近为基于TV的图像恢复开发的基于APG的方法，例如两步迭代收缩/阈值算法的单调版本（Monotone version of Two-step Iterative Shrinkage/Thresholding Algorithm，简称MTwIST）和快速迭代收缩阈值算法的单调版本（Monotone version of Fast Iterative Shrinkage/Thresholding Algorithm，简称MFISTA），GAPG方法更为简洁，因为它不需要解决图像去噪子问题。此外，GAPG方法维持了原始APG算法的收敛速度，其中迭代次数为\( \mathcal{O}(\frac{1}{\sqrt{k}}) \)。GAPG中每次迭代的成本也较低。因此，在实验中，GAPG方法比MTwIST和MFISTA快得多。实验还验证了当GAPG、原始APG和MTwIST解决相同问题时，GAPG收敛速度比原始APG和MTwIST都要快。
文章的介绍部分指出，图像处理问题可以形式化为从受噪声影响的观测数据中估计原始图像的问题。处理过程包括首先应用线性算子然后添加噪声。可能会有采样的步骤，导致数据值缺失。典型的线性算子往往是条件差的甚至是奇异的，因此图像恢复成为了经典的线性逆问题。解决线性逆问题需要在目标函数中包含正则化项来利用先验知识恢复原始图像。
通过引入适当的正定矩阵替代Lipschitz常数，GAPG算法推广了原始的APG算法，以此达到加快收敛的目的。在处理基于TV的图像恢复问题时，作者提出了两个辅助变量来近似偏导数。这使得施加变量约束变得容易，而不需要大幅修改算法。TV正则化可以是各向同性的，也可以是各向异性的。与最近的基于APG的方法相比，例如MTwIST和MFISTA，GAPG在不解决图像去噪子问题的情况下，更为简化。此外，GAPG保持了原始APG算法的收敛速率，即每次迭代的成本较低。实验结果表明，GAPG方法在速度上远超MTwIST和MFISTA，并且在解决相同问题时，GAPG比原始APG和MTwIST收敛得更快。
